LeetCode_数学推导_困难_891.子序列宽度之和

1.题目

一个序列的宽度定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空子序列的宽度之和 。由于答案可能非常大，请返回对 10⁹ + 7 取余 后的结果。

子序列定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，[3,6,2,7] 就是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的一个子序列。

示例 1：
输入：nums = [2,1,3]
输出：6
解释：子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
宽度之和是 6 。

示例 2：
输入：nums = [2]
输出：0

提示：
1 <= nums.length <= 10⁵
1 <= nums[i] <= 10⁵

来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode.cn/problems/sum-of-subsequence-widths

2.思路

（1）数学推导
思路参考该 LeetCode 用户题解。

① 假如数组 nums = [2, 1, 3]，并且我们可以知道子序列顺序不会对结果产生影响；

② 比如其子序列有 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3]，这与 nums = [1,2,3] 的子序列 [1],[2],[3],[1,2],[1,3],[2,3],[1,2,3] 的最终结果是一样的；

③ 所以我们按照递增排序后讨论，这样每个元素都比它左边大或相等（作为最大值），比它右边小（作为最小值）；

④ 那么我们只需要讨论每个元素左右的贡献值，这里拿数字 2 作为例子，那么它作为最大值贡献了 2ⁱ 次（i = 1，排序后），作为最小值贡献了 2^(n-i-1) 次，注：贡献都包含本身统计，结果相减没影响。那么最终结果就是每个数贡献值相加 sum(2ⁱ - 2^(n - i - 1)^) * nums[i])；

3.代码实现（Java）

//思路1————数学推导
class Solution {
    public int sumSubseqWidths(int[] nums) {
        Arrays.sort(nums);
        int mod = (int) 1e9 + 7;
        int length = nums.length;
        long result = 0;
        long[] pow = new long[length];
        pow[0] = 1;
        //初始化2^n的值
        for (int i = 1; i < length; i++) {
            pow[i] = (pow[i - 1] << 1) % mod; 
        }
        //计算总和
        for (int i = 0; i < length; i++)
            result = (result + (pow[i] - pow[n-i-1]) * nums[i] % mod) % mod;       
        return (int) result;
    }
}
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