Matlab：数值积分与符号计算

数值积分

数值积分，用于求定积分的近似值。在数值分析中，数值积分是计算定积分数值的方法和理论。在数学分析中，给定函数的定积分的计算不总是可行的。许多定积分不能用已知的积分公式得到精确值。数值积分是利用黎曼积分等数学定义，用数值逼近的方法近似计算给定的定积分值。借助于电子计算设备，数值积分可以快速而有效地计算复杂的积分。

定积分的数值求解实现

定积分的数值求解介绍以下三种方法：自适应积分算法、梯形积分法与累计梯形积分。

自适应积分算法

基于全局自适应积分算法的integral函数用于求定积分。
调用格式：
q = integral(@fun,xmin,xmax)
q = integral(@fun,xmin,xmax,Name,Value)
其中，fun是被积函数，xmin和xmax分别是定积分的下限和上限。

示例：
人造地球卫星的轨迹可视为平面上的椭圆。我国第一颗人造卫星近地点距离地球表面439km，远地点距离地球表面2384km，地球半径为6371km，求该卫星的轨迹长度。

%求解：
>> a = 8755; 
>> b = 6810;
>> format long
>> funLength = @(x)sqrt(a^2.*sin(x).^2+ b^2.*cos(x).^2);
>> L = 4*integral(funLength, 0, pi/2)
L =
   4.908996526868900e+04
   
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梯形积分法

离散数据用梯形法函数trapz求定积分。
调用格式：
（1）T = trapz(Y)，其中，用于求均匀间距的积分。通常，Y是向量，采用单位间距（即间距为1），计算Y的近似积分；若Y是矩阵，则输出参数T是一个行向量，T的每个元素分别存储Y的每一列的积分结果。
（2）T=trapz(X, Y)，其中，用于求非均匀间距的积分。X、Y满足函数关系Y = f(X)， 按X指定的数据点间距，对Y求积分。

示例：
从地面发射一枚火箭，表7.2记录了0~80秒火箭的加速度。试求火箭在第80秒时的速度。

%求解：
>> t = 0:10:80;
>> a = [30.00,31.63,33.44,35.47,37.75,40.33,43.29,46.69,50.67];
>> v = trapz(t,a)
v =
   3.0893e+03
   
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累计梯形积分

函数cumtrapz用于对数据积分逐步累计。
调用格式：
（1）Z = cumtrapz(Y)，用于求均匀间距的累计积分。
（2）Z = cumtrapz(X,Y)，用于求非均匀间距的累计积分。

示例：
从地面发射一枚火箭，表7.2记录了0~80秒火箭的加速度。试求火箭在第80秒时的速度。

%求解：
>> v = cumtrapz(t,a)
>> v = cumtrapz(t,a)
v =
   1.0e+03 *
  1 至 7 列
         0    0.3081    0.6335    0.9780    
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