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图之最小生成树Kruskal算法详解（C语言版）
一、Kruskal算法思想
Kruskal算法（克鲁斯卡尔算法）查找最小生成树的方法是：将连通网中所有的边按照权值大小做升序排序，从权值最小的边开始选择，只要此边不和已选择的边一起构成环路，就可以选择它组成最小生成树。对于 N 个顶点的连通网，挑选出 N-1 条符合条件的边，这些边组成的生成树就是最小生成树。
举个例子，下图是一个连通网有A、B、C、D、E、F六个顶点，它们的编号依次是0、1、2、3、4、5。使用克鲁斯卡尔算法查找最小生成树的过程如下所示，代价分别为1，2，3，4的 4 条边由于满足上述条件，则先后被加入到组成最小生成树的边中，代价为5的两条边(A，D)和(C，D)被舍去。因为它们依附的两顶点在同一连通分量上，它们若加入最小生成树的边中,则会使最小生成树产生回路，而下一条代价等于5的最小边(B，C)联结两个连通分量，则可加入组成最小生成树的边中。由此，构造成一棵最小生成树。
每当添加一条边
father[顶点j的最终父顶点] = 顶点i的最终父顶点）。其中father数组判断是否形成环路的方式是：分别将构成边的两个顶点i、j，放到father数组中查找，查找两个顶点的最终父顶点，如果两者的父顶点相同则说明加入后会形成环，如果不同就不会形成环。
将各个边按权值升序排列，并根据图结构初始化father数组father[i] = i（即顶点的父顶点是自己）father[0] = 0 father[1] = 1 father[2] = 2 father[3] = 3 father[4] = 4 father[5] = 5- 1
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取出第 1 条边
i = 0，j = 2放到father数组查找它们的父顶点编号，查找到的编号分别是0、2对应顶点A、C，两个父顶点不同，则说明这条边加入后不会形成环，所以将边加入更新father数组（father[2] = 0）
father[0] = 0 father[1] = 1 father[2] = 0 father[3] = 3 father[4] = 4 father[5] = 5- 1
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取出第 2 条边
i = 3，j = 5放到father数组查找它们的父顶点编号，查找到的编号分别是3、5对应顶点D、F，两个父顶点不同，则说明这条边加入后不会形成环，所以将边加入更新father数组（father[5] = 3）
father[0] = 0 father[1] = 1 father[2] = 0 father[3] = 3 father[4] = 4 father[5] = 3- 1
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取出第 3 条边
i = 1，j = 4放到father数组查找它们的父顶点编号，查找到的编号分别是1、4对应顶点B、E，两个父顶点不同，则说明这条边加入后不会形成环，所以将边加入更新father数组（father[4] = 1）
father[0] = 0 father[1] = 1 father[2] = 0 father[3] = 3 father[4] = 1 father[5] = 3- 1
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取出第 4 条边
i = 2，j = 5放到father数组查找它们的父顶点编号，查找到的编号分别是0、3对应顶点A、D，两个父顶点不同，则说明这条边加入后不会形成环，所以将边加入更新father数组（father[3] = 0）
father[0] = 0 father[1] = 1 father[2] = 0 father[3] = 0 father[4] = 1 father[5] = 3- 1
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取出第 5 条边
i = 0，j = 3放到father数组查找它们的父顶点编号，查找到的编号分别是0、0对应顶点A、A，两个父顶点相同，则说明这条边加入后会形成环，不能将该边作为最小生成树的边，将该边抛弃。取出第 6 条边
i = 1，j = 2放到father数组查找它们的父顶点编号，查找到的编号分别是1、0对应顶点B、A，两个父顶点不同，则说明这条边加入后不会形成环，所以将边加入更新father数组（father[0] = 1）
father[0] = 1 father[1] = 1 father[2] = 0 father[3] = 0 father[4] = 1 father[5] = 3- 1
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由于该图有六个顶点，所以其最小生成树有5条边，到此已经找出其最小生成树的五条边，流程结束。
二、数据结构
1、图的存放结构：邻接矩阵
邻接矩阵的实现方式可查看：图之邻接矩阵详解（C语言版）//设置默认的顶点个数 #define Default_Vertex_Size 10 //数据类型 #define T char #define E int #define MAX_COST 0x7FFFFFFF //代表无穷大 //邻接矩阵图结构 typedef struct GraphMtx { int MaxVertices; //最大顶点数 int NumVertices; //真实的顶点数 int NumEdges; //边数 T *VerticesList; //顶点列表 int **Edge; //边信息矩阵 }GraphMtx;- 1
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2、Kruskal算法所需的结构//选取的边 typedef struct Edge { int x; // start 开始点 int y; // end 结束点 E cost; //边权值 }Edge;- 1
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//father数组，用来标记边的两个顶点是否在相同集合 int *father = (int*)malloc(sizeof(int) * n);- 1
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三、代码实现
1、领接矩阵实现
图初始化
//图的初始化 void InitGraph(GraphMtx *g) { g->MaxVertices = Default_Vertex_Size;//最大顶点数初始化 g->NumVertices = g->NumEdges = 0; //实际顶点数初始化 //分配顶点存储列表的空间 g->VerticesList = (T*)malloc(sizeof(T)*(g->MaxVertices)); assert(g->VerticesList != NULL); //开辟边信息存储矩阵的空间（二维数组的动态开辟） g->Edge = (int**)malloc(sizeof(int*) * g->MaxVertices); //总行数的开辟 assert(g->Edge != NULL); for(int i=0; i<g->MaxVertices; ++i) //每一行内具体的空间开辟 { g->Edge[i] = (int*)malloc(sizeof(int) * g->MaxVertices); } for(i=0; i<g->MaxVertices; ++i) //初始化 { for(int j=0; j<g->MaxVertices; ++j) { if(i == j) { g->Edge[i][j] = 0; } else { g->Edge[i][j] = MAX_COST; } } } }- 1
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获取顶点的位置
//获取顶点的位置 int GetVertexPos(GraphMtx *g, T v) { for(int i=0; i<g->NumVertices; ++i) //对所有顶点进行遍历 { //判断是否找到顶点v所在位置 if(g->VerticesList[i] == v) return i; } return -1; }- 1
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打印图信息
//打印图信息 void ShowGraph(GraphMtx *g) { printf(" "); for(int i=0; i<g->NumVertices; ++i) //获取顶点，并打印 { printf("%c ",g->VerticesList[i]); } printf("\n"); for(i=0; i<g->NumVertices; ++i) //打印顶点间边的信息 { printf("%c ",g->VerticesList[i]); for(int j=0; j<g->NumVertices; ++j) { if(g->Edge[i][j] == MAX_COST) { printf("%c ",'@'); } else { printf("%d ",g->Edge[i][j]); } } printf("\n"); } printf("\n"); }- 1
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插入顶点
//插入顶点 void InsertVertex(GraphMtx *g, T v) { if(g->NumVertices >= g->MaxVertices) //判断顶点空间是否已满 return; g->VerticesList[g->NumVertices++] = v; //还有空间，放入顶点 }- 1
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插入边：在v1和v2顶点间插入边
//插入边：在v1和v2顶点间插入边 void InsertEdge(GraphMtx *g, T v1, T v2, E cost) { int p1 = GetVertexPos(g,v1); //获取v1顶点位置 int p2 = GetVertexPos(g,v2); //获取v2顶点位置 if(p1==-1 || p2==-1) return; //无向图存储 需要双向的 g->Edge[p1][p2] = g->Edge[p2][p1] = cost; g->NumEdges++; //记录实际边数 }- 1
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删除边：删除v1和v2顶点间的边
//删除边：删除v1和v2顶点间的边 void RemoveEdge(GraphMtx *g, T v1, T v2) { //求出两个顶点的下标位置 int p1 = GetVertexPos(g,v1); int p2 = GetVertexPos(g,v2); if(p1==-1 || p2==-1) return; if(g->Edge[p1][p2] == 0) return; //将边清空 g->Edge[p1][p2] = g->Edge[p2][1] = 0; g->NumEdges--; //更新边数 }- 1
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删除顶点
//删除顶点 void RemoveVertex(GraphMtx *g, T v) { //获取顶点的位置 int p = GetVertexPos(g,v); if(p == -1) return; //释放顶点 int numedges = 0; for(int i=p; i<g->NumVertices-1; ++i) { //将要释放顶点之后的顶点逐一前移 g->VerticesList[i] = g->VerticesList[i+1]; } //统计与要删除顶点相连的边条数 for(i=0; i<g->NumVertices; ++i) { if(g->Edge[p][i] != 0) { numedges++; } } //删除与释放顶点相连的边（更改存放边信息的矩阵） for(i=p; i<g->NumVertices-1; ++i) { //将要删除行之后的行逐一向前移动一行 for(int j=0; j<g->NumVertices; ++j) { g->Edge[i][j] = g->Edge[i+1][j]; } } for(i=p; i<g->NumVertices; ++i)//删除列 { //将要删除列之后的列逐一向前移动一列 for(int j=0; j<g->NumVertices; ++j) { g->Edge[j][i] = g->Edge[j][i+1]; } } g->NumVertices--; g->NumEdges -= numedges; }- 1
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销毁图
//销毁图 void DestroyGraph(GraphMtx *g) { //释放顶点 free(g->VerticesList); g->VerticesList = NULL; //释放边存储结构的列 for(int i=0; i<g->NumVertices; ++i) { free(g->Edge[i]); } free(g->Edge);//释放存放行指针的空间 g->Edge = NULL; g->MaxVertices = g->NumEdges = g->NumVertices = 0; }- 1
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获取v第一个邻接顶点
//获取v第一个邻接顶点 int GetFirstNeighbor(GraphMtx *g, T v) { //获取顶点v所在位置 int p = GetVertexPos(g,v); if(p == -1) return -1; //对顶点进行搜索，看那个顶点与v相连 for(int i=0; i<g->NumVertices; ++i) { //判断是否，找到 if(g->Edge[p][i] == 1) return i; //找到即返回 } return -1; }- 1
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获取下一个邻接顶点：获取顶点v的邻接顶点（该邻接点的顺序在邻接点w之后）
//获取下一个邻接顶点：获取顶点v的邻接顶点（该邻接点的顺序在邻接点w之后） int GetNextNeighbor(GraphMtx *g, T v, T w) { //获取v和w所在位置 int pv = GetVertexPos(g,v); int pw = GetVertexPos(g,w); if(pv==-1 || pw==-1) return -1; //从v的邻接顶点w的位置向后搜索，找到第一个与v相邻的顶点，即所求 for(int i=pw+1; i<g->NumVertices; ++i) { if(g->Edge[pv][i] == 1) return i; } return -1; }- 1
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获取边的权重
//获取边的权重 E GetWeight(GraphMtx *g, int v1, int v2) { if(v1==-1 || v2==-1) return MAX_COST; return g->Edge[v1][v2]; }- 1
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2、Kruskal算法实现
Kruskal算法获取最小生成树
//使用Kruskal算法获取最小生成树 void MinSpanTree_Kruskal(GraphMtx *g) { //申请存放边的空间（根据无向图的对称性只要存放邻接矩阵上三角就可以） int n = g->NumVertices; Edge *edge = (Edge *)malloc(sizeof(Edge) * (n*(n-1)/2)); assert(edge != NULL); //获取邻接矩阵中的边（查找邻接矩阵上三角就可以） int k = 0; for(int i=0; i<n; ++i) { for(int j=i; j<n; ++j) { if(g->Edge[i][j]!=0 && g->Edge[i][j]!=MAX_COST) { edge[k].x = i; edge[k].y = j; edge[k].cost = g->Edge[i][j]; k++; } } } int v1,v2; //将各个边根据边的排序规则（权值越大边越大）排序，升序 qsort(edge,k,sizeof(Edge),cmp); //初始化father数组，用来标记边的两个顶点是否在相同集合 int *father = (int*)malloc(sizeof(int) * n); assert(father != NULL); for(i=0; i<n; ++i) { father[i] = i;//顶点i的父顶点为i } for(i=0; i<n; ++i) { //判断边的两个顶点是否在相同集合，如果在相同集合说明该边不能进行连接，会形成闭环 if(!Is_same(father,edge[i].x,edge[i].y)) { //不在同一集合，将边加入，并将边在father中进行标注 //由于边根据权值进行升序排列，所以只需要按照顺序取出就可以 v1 = edge[i].x; v2 = edge[i].y; printf("%c-->%c : %d\n",g->VerticesList[v1],g->VerticesList[v2],edge[i].cost); Mark_same(father,edge[i].x,edge[i].y); } } }- 1
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边的比较规则：权值大就代表边大
//边的比较规则：权值大就代表边大 int cmp(const void*a, const void *b) { return (*(Edge*)a).cost - (*(Edge*)b).cost; }- 1
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判断两个顶点在father中是否记录有相同父顶点
//判断编号为i、j对应的顶点是否同在father集合中(就是查找i、j顶点在father中是否有相同父顶点) bool Is_same(int *father, int i, int j) { //查找顶点i的父顶点 while(father[i] != i) { i = father[i]; } //查找顶点j的父顶点 while(father[j] != j) { j = father[j]; } //判断i、j两个顶点的父顶点是否相同 return i==j; }- 1
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将边的两个顶点i、j在father中进行标注
//将边的两个顶点i、j在father中进行标注 void Mark_same(int *father, int i, int j) { //查找顶点i的父顶点 while(father[i] != i) { i = father[i]; } //查找顶点j的父顶点 while(father[j] != j) { j = father[j]; } //合并： father[j] = i; }- 1
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3、运行结果
#include"GraphMtx.h" void main() { GraphMtx gm; InitGraph(&gm); //插入顶点 InsertVertex(&gm,'A'); InsertVertex(&gm,'B'); InsertVertex(&gm,'C'); InsertVertex(&gm,'D'); InsertVertex(&gm,'E'); InsertVertex(&gm,'F'); //插入边 InsertEdge(&gm,'A','B',6); InsertEdge(&gm,'A','C',1); InsertEdge(&gm,'A','D',5); InsertEdge(&gm,'B','C',5); InsertEdge(&gm,'B','E',3); InsertEdge(&gm,'C','D',5); InsertEdge(&gm,'C','E',6); InsertEdge(&gm,'C','F',4); InsertEdge(&gm,'D','F',2); InsertEdge(&gm,'E','F',6); ShowGraph(&gm); //MinSpanTree_Prim(&gm,'E'); //使用克鲁斯卡尔算法获取最小生成树 MinSpanTree_Kruskal(&gm); }- 1
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运行结果
测试的图结构
获取的最小生成树
附录
Main.cpp
#include"GraphMtx.h" void main() { GraphMtx gm; InitGraph(&gm); //插入顶点 InsertVertex(&gm,'A'); InsertVertex(&gm,'B'); InsertVertex(&gm,'C'); InsertVertex(&gm,'D'); InsertVertex(&gm,'E'); InsertVertex(&gm,'F'); //插入边 InsertEdge(&gm,'A','B',6); InsertEdge(&gm,'A','C',1); InsertEdge(&gm,'A','D',5); InsertEdge(&gm,'B','C',5); InsertEdge(&gm,'B','E',3); InsertEdge(&gm,'C','D',5); InsertEdge(&gm,'C','E',6); InsertEdge(&gm,'C','F',4); InsertEdge(&gm,'D','F',2); InsertEdge(&gm,'E','F',6); ShowGraph(&gm); //MinSpanTree_Prim(&gm,'E'); //使用克鲁斯卡尔算法获取最小生成树 MinSpanTree_Kruskal(&gm); }- 1
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GraphMtx.h
#pragma once #include#include #include #include #define Default_Vertex_Size 10 #define T char #define E int #define MAX_COST 0x7FFFFFFF typedef struct GraphMtx { int MaxVertices; int NumVertices; int NumEdges; T *VerticesList; int **Edge; }GraphMtx; void InitGraph(GraphMtx *g); int GetVertexPos(GraphMtx *g, T v); void ShowGraph(GraphMtx *g); void InsertVertex(GraphMtx *g, T v); void InsertEdge(GraphMtx *g, T v1, T v2, E cost); void RemoveVertex(GraphMtx *g, T v); void RemoveEdge(GraphMtx *g, T v1, T v2); void DestroyGraph(GraphMtx *g); int GetFirstNeighbor(GraphMtx *g, T v); int GetNextNeighbor(GraphMtx *g, T v, T w); E GetWeight(GraphMtx *g, int v1, int v2); // //选取的边 typedef struct Edge { int x; // start 开始点 int y; // end 结束点 E cost; //边权值 }Edge; void MinSpanTree_Kruskal(GraphMtx *g); - 1
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GraphMtx.cpp
#include"GraphMtx.h" //图的初始化 void InitGraph(GraphMtx *g) { g->MaxVertices = Default_Vertex_Size;//最大顶点数初始化 g->NumVertices = g->NumEdges = 0; //实际顶点数初始化 //分配顶点存储列表的空间 g->VerticesList = (T*)malloc(sizeof(T)*(g->MaxVertices)); assert(g->VerticesList != NULL); //开辟边信息存储矩阵的空间（二维数组的动态开辟） g->Edge = (int**)malloc(sizeof(int*) * g->MaxVertices); //总行数的开辟 assert(g->Edge != NULL); for(int i=0; i<g->MaxVertices; ++i) //每一行内具体的空间开辟 { g->Edge[i] = (int*)malloc(sizeof(int) * g->MaxVertices); } for(i=0; i<g->MaxVertices; ++i) //初始化 { for(int j=0; j<g->MaxVertices; ++j) { if(i == j) { g->Edge[i][j] = 0; } else { g->Edge[i][j] = MAX_COST; } } } } //获取顶点的位置 int GetVertexPos(GraphMtx *g, T v) { for(int i=0; i<g->NumVertices; ++i) //对所有顶点进行遍历 { //判断是否找到顶点v所在位置 if(g->VerticesList[i] == v) return i; } return -1; } //打印图信息 void ShowGraph(GraphMtx *g) { printf(" "); for(int i=0; i<g->NumVertices; ++i) //获取顶点，并打印 { printf("%c ",g->VerticesList[i]); } printf("\n"); for(i=0; i<g->NumVertices; ++i) //打印顶点间边的信息 { printf("%c ",g->VerticesList[i]); for(int j=0; j<g->NumVertices; ++j) { if(g->Edge[i][j] == MAX_COST) { printf("%c ",'@'); } else { printf("%d ",g->Edge[i][j]); } } printf("\n"); } printf("\n"); } //插入顶点 void InsertVertex(GraphMtx *g, T v) { if(g->NumVertices >= g->MaxVertices) //判断顶点空间是否已满 return; g->VerticesList[g->NumVertices++] = v; //还有空间，放入顶点 } //插入边：在v1和v2顶点间插入边 void InsertEdge(GraphMtx *g, T v1, T v2, E cost) { int p1 = GetVertexPos(g,v1); //获取v1顶点位置 int p2 = GetVertexPos(g,v2); //获取v2顶点位置 if(p1==-1 || p2==-1) return; //无向图存储 需要双向的 g->Edge[p1][p2] = g->Edge[p2][p1] = cost; g->NumEdges++; //记录实际边数 } //删除边：删除v1和v2顶点间的边 void RemoveEdge(GraphMtx *g, T v1, T v2) { //求出两个顶点的下标位置 int p1 = GetVertexPos(g,v1); int p2 = GetVertexPos(g,v2); if(p1==-1 || p2==-1) return; if(g->Edge[p1][p2] == 0) return; //将边清空 g->Edge[p1][p2] = g->Edge[p2][1] = 0; g->NumEdges--; //更新边数 } //删除顶点 void RemoveVertex(GraphMtx *g, T v) { //获取顶点的位置 int p = GetVertexPos(g,v); if(p == -1) return; //释放顶点 int numedges = 0; for(int i=p; i<g->NumVertices-1; ++i) { //将要释放顶点之后的顶点逐一前移 g->VerticesList[i] = g->VerticesList[i+1]; } //统计与要删除顶点相连的边条数 for(i=0; i<g->NumVertices; ++i) { if(g->Edge[p][i] != 0) { numedges++; } } //删除与释放顶点相连的边（更改存放边信息的矩阵） for(i=p; i<g->NumVertices-1; ++i) { //将要删除行之后的行逐一向前移动一行 for(int j=0; j<g->NumVertices; ++j) { g->Edge[i][j] = g->Edge[i+1][j]; } } for(i=p; i<g->NumVertices; ++i)//删除列 { //将要删除列之后的列逐一向前移动一列 for(int j=0; j<g->NumVertices; ++j) { g->Edge[j][i] = g->Edge[j][i+1]; } } g->NumVertices--; g->NumEdges -= numedges; } //销毁图 void DestroyGraph(GraphMtx *g) { //释放顶点 free(g->VerticesList); g->VerticesList = NULL; //释放边存储结构的列 for(int i=0; i<g->NumVertices; ++i) { free(g->Edge[i]); } free(g->Edge);//释放存放行指针的空间 g->Edge = NULL; g->MaxVertices = g->NumEdges = g->NumVertices = 0; } //获取v第一个邻接顶点 int GetFirstNeighbor(GraphMtx *g, T v) { //获取顶点v所在位置 int p = GetVertexPos(g,v); if(p == -1) return -1; //对顶点进行搜索，看那个顶点与v相连 for(int i=0; i<g->NumVertices; ++i) { //判断是否，找到 if(g->Edge[p][i] == 1) return i; //找到即返回 } return -1; } //获取下一个邻接顶点：获取顶点v的邻接顶点（该邻接点的顺序在邻接点w之后） int GetNextNeighbor(GraphMtx *g, T v, T w) { //获取v和w所在位置 int pv = GetVertexPos(g,v); int pw = GetVertexPos(g,w); if(pv==-1 || pw==-1) return -1; //从v的邻接顶点w的位置向后搜索，找到第一个与v相邻的顶点，即所求 for(int i=pw+1; i<g->NumVertices; ++i) { if(g->Edge[pv][i] == 1) return i; } return -1; } //获取边的权重 E GetWeight(GraphMtx *g, int v1, int v2) { if(v1==-1 || v2==-1) return MAX_COST; return g->Edge[v1][v2]; } /// //Kruskal //边的比较规则：权值大就代表边大 int cmp(const void*a, const void *b) { return (*(Edge*)a).cost - (*(Edge*)b).cost; } //判断编号为i、j对应的顶点是否同在father集合中(就是查找i、j顶点在father中是否有相同父顶点) bool Is_same(int *father, int i, int j) { //查找顶点i的父顶点 while(father[i] != i) { i = father[i]; } //查找顶点j的父顶点 while(father[j] != j) { j = father[j]; } //判断i、j两个顶点的父顶点是否相同 return i==j; } //将边的两个顶点i、j在father中进行标注 void Mark_same(int *father, int i, int j) { //查找顶点i的父顶点 while(father[i] != i) { i = father[i]; } //查找顶点j的父顶点 while(father[j] != j) { j = father[j]; } //合并： father[j] = i; } //使用Kruskal算法获取最小生成树 void MinSpanTree_Kruskal(GraphMtx *g) { //申请存放边的空间（根据无向图的对称性只要存放邻接矩阵上三角就可以） int n = g->NumVertices; Edge *edge = (Edge *)malloc(sizeof(Edge) * (n*(n-1)/2)); assert(edge != NULL); //获取邻接矩阵中的边（查找邻接矩阵上三角就可以） int k = 0; for(int i=0; i<n; ++i) { for(int j=i; j<n; ++j) { if(g->Edge[i][j]!=0 && g->Edge[i][j]!=MAX_COST) { edge[k].x = i; edge[k].y = j; edge[k].cost = g->Edge[i][j]; k++; } } } int v1,v2; //将各个边根据边的排序规则（权值越大边越大）排序，升序 qsort(edge,k,sizeof(Edge),cmp); //初始化father数组，用来标记边的两个顶点是否在相同集合 int *father = (int*)malloc(sizeof(int) * n); assert(father != NULL); for(i=0; i<n; ++i) { father[i] = i;//顶点i的父顶点为i } for(i=0; i<n; ++i) { //判断边的两个顶点是否在相同集合，如果在相同集合说明该边不能进行连接，会形成闭环 if(!Is_same(father,edge[i].x,edge[i].y)) { //不在同一集合，将边加入，并将边在father中进行标注 //由于边根据权值进行升序排列，所以只需要按照顺序取出就可以 v1 = edge[i].x; v2 = edge[i].y; printf("%c-->%c : %d\n",g->VerticesList[v1],g->VerticesList[v2],edge[i].cost); Mark_same(father,edge[i].x,edge[i].y); } } }- 1
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- 原文地址：https://blog.csdn.net/qq_44075108/article/details/127856855
