前置定义 1 设 V n V_n Vn， U m U_m Um 分别是 n n n 维和 m m m 维线性空间， T T T 是一个从 V n V_n Vn 到 U m U_m Um 的映射，如果映射 T T T 满足：
（i）任给
α
1
,
α
2
∈
V
n
\boldsymbol{\alpha}_1, \boldsymbol{\alpha}_2 \in V_n
α1,α2∈Vn（从而
α
1
+
α
2
∈
V
\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2 \in V
α1+α2∈V），有
T
(
α
1
+
α
2
)
=
T
(
α
1
)
+
T
(
α
2
)
T(\boldsymbol{\alpha}_1 + \boldsymbol{\alpha}_2) = T(\boldsymbol{\alpha}_1) + T(\boldsymbol{\alpha}_2)
T(α1+α2)=T(α1)+T(α2)
（ii）任给
α
∈
V
n
\boldsymbol{\alpha} \in V_n
α∈Vn，
λ
∈
R
\lambda \in \R
λ∈R（从而
λ
α
∈
V
n
\lambda \boldsymbol{\alpha} \in V_n
λα∈Vn），有
T
(
λ
α
)
=
λ
T
(
α
)
T(\lambda \boldsymbol{\alpha}) = \lambda T(\boldsymbol{\alpha})
T(λα)=λT(α)
那么，
T
T
T 就称为从
V
n
V_n
Vn 到
U
m
U_m
Um 的 线性映射，或称为 线性变换。
性质 1 若 β = k 1 α 1 + k 2 α 2 + ⋯ + k m α m \boldsymbol{\beta} = k_1 \boldsymbol{\alpha}_1 + k_2 \boldsymbol{\alpha}_2 + \cdots + k_m \boldsymbol{\alpha}_m β=k1α1+k2α2+⋯+kmαm，则 T ( β ) = k 1 T ( α 1 ) + k 2 T ( α 2 ) + ⋯ + k m T ( α m ) T(\boldsymbol{\beta}) = k_1 T(\boldsymbol{\alpha}_1) + k_2 T(\boldsymbol{\alpha}_2) + \cdots + k_m T(\boldsymbol{\alpha}_m) T(β)=k1T(α1)+k2T(α2)+⋯+kmT(αm)。
证明 根据前置定义 1，有
T ( β ) = T ( k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 + ⋯ + k m α m ) = T ( k 1 α 1 ) + T ( k 2 α 2 + k 3 α 3 + ⋯ + k m α m ) = T ( k 1 α 1 ) + T ( k 2 α 2 ) + T ( k 3 α 3 ⋯ + k m α m ) = T ( k 1 α 1 ) + T ( k 2 α 2 ) + ⋯ + T ( k m α m ) = k 1 T ( α 1 ) + k 2 T ( α 2 ) + ⋯ + k m T ( α m )T(β)=T(k1α1+k2α2+k3α3+⋯+kmαm)=T(k1α1)+T(k2α2+k3α3+⋯+kmαm)=T(k1α1)+T(k2α2)+T(k3α3⋯+kmαm)=T(k1α1)+T(k2α2)+⋯+T(kmαm)=k1T(α1)+k2T(α2)+⋯+kmT(αm)" role="presentation"> T ( β ) = T ( k 1 α 1 + k 2 α 2 + k 3 α 3 + ⋯ + k m α m ) = T ( k 1 α 1 ) + T ( k 2 α 2 + k 3 α 3 + ⋯ + k m α m ) = T ( k 1 α 1 ) + T ( k 2 α 2 ) + T ( k 3 α 3 ⋯ + k m α m ) = T ( k 1 α 1 ) + T ( k 2 α 2 ) + ⋯ + T ( k m α m ) = k 1 T ( α 1 ) + k 2 T ( α 2 ) + ⋯ + k m T ( α m )
得证。