八数码问题

八数码问题

我想大家小时候一定玩过八数码的游戏，如下图：在一个九宫格里面放入8个数字，数字只能上下左右移动，并且只能移动到空白处。通过若干此移动后，能把数字移动成图1.1右方所示图案。

 

图1.1（左边为开始格局，右边为移动后最终格局

下图是图1.1下一个格局的三种情况：

如果按正常的思维，采用盲目搜索的话，不仅搜索的次数多，而且往往容易陷入死循环中，所以面对此问题需要一种策略——启发式搜索

启发式搜索：启发式搜索就是在状态空间中的搜索对每一个搜索的位置进行评估，得到最好的位置，再从这个位置进行搜索直到目标。这样可以省略大量无谓的搜索路径，提高了效率

解决此问题的启发策略：

每次移动的时候，正确位置数码的个数要大于交换前正确位置数码个数。

正确位置数码个数：每个数码的位置与最终格局的对比，如果位置相同，则说明此数码在正确位置。

如下图：

 

图1.3

图1.3中右边为最终格局，左边为当前格局，红色字体标识的数码为 正确位置数码，由此可以发现其正确位置的数码个数为4个。那么图1.2中正确数码如下图所示：

 

由上图所示可得，正确位置数码个数大于等于4的只有左下方的格局，那么下一步选择的就是左下方的格局，再次调用次算法如下图：
这样一步步的最终即可得到最终格局
 

BFS+Cantor 解决方法

#include 
const int LEN = 362880; //状态共9！=362880种
using namespace std;
struct node
{
    int state[9]; //记录一个八数码的排列，即一个状态
    int dis;      //记录到起点的距离
};
int dir[4][2] = {{-1, 0}, {0, -1}, {1, 0}, {0, 1}};
//左，上，右，下顺时针方向，左上角的坐标是(0,0)
int visited[LEN] = {0};                                               //与每个状态对应的记录，Cantor()函数对它置数，并判重
int start[9];                                                         //开始状态
int goal[9];                                                          //目标状态
long int factory[] = {1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880}; // Cantor()用到的常数 即阶乘
//用康托展开判重
bool Cantor(int str[], int n)
{
    long result = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        int counted = 0;
        for (int j = i + 1; j < n; j++)
        {
            //当前未出现的元素排在第几个
            if (str[i] > str[j])
                ++counted;
        }
        result += counted * factory[n - i - 1];
    }
    if (!visited[result]) //没有被访问过
    {
        visited[result] = 1;
        return 1;
    }
    else
        return 0;
}
int bfs()
{
    node head;
    memcpy(head.state, start, sizeof(head.state)); //复制起点的状态
    head.dis = 0;
    queue q;         //队列中的内容是记录状态
    Cantor(head.state, 9); //用康托展开判重，目的是对起点的visited[]赋值
    q.push(head);          //第一个进队列的是起点状态
 
    while (!q.empty()) //处理队列
    {
        head = q.front();
        q.pop(); //可在此处打印head.state，看弹出队列的情况
        int z;
        for (z = 0; z < 9; z++) //找到这个状态中元素0的位置
        {
            if (head.state[z] == 0) //找到了
                break;
        }
        int x = z % 3;              //横坐标
        int y = z / 3;              //纵坐标
        for (int i = 0; i < 4; i++) //上，下，左，右最多可能有4个新状态
        {
            int newx = x + dir[i][0]; //元素0转移后的新坐标
            int newy = y + dir[i][1];
            int nz = newx + 3 * newy;                           //转化为一维
            if (newx >= 0 && newx < 3 && newy >= 0 && newy < 3) //未越界
            {
                node newnode;
                memcpy(&newnode, &head, sizeof(struct node)); //复制这个新状态
                swap(newnode.state[z], newnode.state[nz]);    //把0移动到新的位置
                newnode.dis++;
                if (memcmp(newnode.state, goal, sizeof(goal)) == 0) //与目标状态对比
                    return newnode.dis;                             //到达目标状态，返回距离，结束
                if (Cantor(newnode.state, 9))                       //用康托展开判重
                    q.push(newnode);                                //把新的状态放入队列
            }
        }
    }
    return -1; //没找到
}
int main()
{
    for (int i = 0; i < 9; i++) //初始状态
        cin >> start[i];
    for (int i = 0; i < 9; i++) //目标状态
        cin >> goal[i];
    int num = bfs();
    if (num != -1)
        cout << num << endl;
    else
        cout << "Impossible" << endl;
    return 0;
}

A* + Set 解决方法

#include 
using namespace std;
const int dx[4] = {1, -1, 0, 0}, dy[4] = {0, 0, 1, -1};
int fx, fy;
char ch;
struct Matrix
{
    int e[5][5];
    bool operator<(Matrix x) const
    {
        for (int i = 1; i <= 3; i++)
            for (int j = 1; j <= 3; j++)
                if (e[i][j] != x.e[i][j])
                    return e[i][j] < x.e[i][j];
        return false;
    }
} first, standard;
// 函数h可以定义为，不在应该在的位置的数字个数。
// 容易发现h满足以上两个性质，此题可以使用 A*算法求解。
int h(Matrix m)
{
    int ret = 0;
    for (int i = 1; i <= 3; i++)
        for (int j = 1; j <= 3; j++)
            if (m.e[i][j] != standard.e[i][j])
                ret++;
    return ret;
}
struct node
{
    Matrix matrix;
    int t;
    bool operator<(node x) const { return t + h(matrix) > x.t + h(x.matrix); }
} x;
priority_queue qu; //搜索队列
set st;          //防止搜索队列重复
int main()
{
    standard.e[1][1] = 1; //定义标准表
    standard.e[1][2] = 2;
    standard.e[1][3] = 3;
    standard.e[2][1] = 8;
    standard.e[2][2] = 0;
    standard.e[2][3] = 4;
    standard.e[3][1] = 7;
    standard.e[3][2] = 6;
    standard.e[3][3] = 5;
    for (int i = 1; i <= 3; i++) //输入
        for (int j = 1; j <= 3; j++)
        {
            scanf(" %c", &ch);
            first.e[i][j] = ch - '0';
        }
    qu.push({first, 0});
    while (!qu.empty())
    {
        x = qu.top();
        qu.pop();
        if (!h(x.matrix))
        { //判断是否与标准矩阵一致
            printf("%d\n", x.t);
            return 0;
        }
        for (int i = 1; i <= 3; i++)
            for (int j = 1; j <= 3; j++)
                if (!x.matrix.e[i][j])
                    fx = i, fy = j; //如果该点上的数不为0
        for (int i = 0; i < 4; i++)
        { //对四种移动方式分别进行搜索
            int xx = fx + dx[i], yy = fy + dy[i];
            if (1 <= xx && xx <= 3 && 1 <= yy && yy <= 3)
            {
                swap(x.matrix.e[fx][fy], x.matrix.e[xx][yy]);
                if (!st.count(x.matrix))
                    st.insert(x.matrix),
                        qu.push({x.matrix, x.t + 1});         //这样移动后，将新的情况放入搜索队列中
                swap(x.matrix.e[fx][fy], x.matrix.e[xx][yy]); //如果不这样移动的情况
            }
        }
    }
    return 0;
}