数据结构学习笔记 - 带权并查集（食物链题解）

前言

并查集的概念：将编号分别为 1~n 的 n 个对象划分为不相交集合，在每个集合中，选择其中某个元素代表所在集合。

并查集的基本应用是集合问题。在加上权值之后，利用并查集的合并优化和路径压缩，可以对权值所代表的具体应用进行高效的操作。

查询的优化（路径压缩）

普通的查询函数是查询元素 i 所属的集需要搜索路径到根节点并返回，这样显然会浪费很长时间。如果我们在返回时顺便把 i 所属的集改为根节点，那么下次再搜的时候可以直接 O(1) 得到结果。

int find(int x){
    if(x == fa[x]) return fa[x];
    return fa[x] = find(fa[x]);
}

带权并查集

除了并查集的基本应用 - 处理集合问题。

定义一个权值数组 d[] 把节点 i 到父节点的权值记为 d[i]

带权值的路径压缩

原来的权值 d[]，经过压缩之后，更新为 d[]'，例如 d[1]' = d[1] + [2] + d[3]（也可以是乘、异或等）

int find(int x){
    if(x != fa[x]){
        int t = fa[x]; // 记录父节点
        fa[x] = find(fa[x]); // 路径压缩，递归最后返回的是根节点
        d[x] = (d[x] + d[t]) % 3;; // 权值更新为 x 到根节点的权值
    }
    return fa[x];
}

原来的 d[x] 是点 x 到它的父节点的权值，经过路径压缩后，x 直接指向根节点，d[x] 也更新为 x 到根节点的权值。这是通过递归实现的。

代码中先用 t 记录 x 的原父节点；在递归过程中，最后返回的是根节点；最后将当前节点的权值加上原父节点的权值（注意：经过递归，此时父节点也直接指向根节点，父节点的权值也已经更新为父节点直接到根节点的权值了），就得到当前节点到根节点的权值。

带权值的合并

在合并操作中，把点 x 与点 y 合并，就是把点 x 的根节点 fx 合并到点 y 的根节点 fy。在 fx 和 fy 之间增加权值，这个权值要符合题目的要求。

食物链题解

解题思路

本题有两种解法，一个是带权并查集，另一个是扩展并查集。

带权并查集

题目中的权值关系是指两个动物在食物链上的相对关系。

d(A->B) 表示 A 和 B 的关系，d(A->B) = 0 表示同类，d(A->B) = 1 表示 A 吃 B，d(A->B) = 2 表示 A 被 B 吃。

d(A->B) = 1，d(B->C) = 1，求 d(A->C)。因为 A 吃 B，B 吃 C，那么 C 应该吃 A，得 d(A->C) = 2

d(A->B) = 2，d(B->C) = 2，求 d(A->C)。因为 B 吃 A，C 吃 B，那么 A 应该吃 C，得 d(A->C) = 1

d(A->B) = 0，d(B->C) = 1，求 d(A->C)。因为 A B 同类，B 吃 C，那么 A 吃 C，得 d(A->C) = 1

d(A->C) = (d(A->B) + d(B->C)) % 3

/*  三倍并查集
#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int maxn = 3000100;
int n, m;
int ans;
int fa[maxn];
int a[maxn];
int find(int x){
    if(x == fa[x]) return fa[x];
    return fa[x] = find(fa[x]);
}
int main(){
    cin >> n >> m;
    int z, x, y;
    for(int i = 1; i <= n * 3; i++) fa[i] = i;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        cin >> z >> x >> y;
        if(x > n || y > n){
            ans++;
            continue;
        } 
        if(z == 1){
            if(find(x) == find(y + n) || find(x + n) == find(y)){
                ans++;
                continue;
            }
            else{
                fa[find(x)] = find(y);
                fa[find(x + n)] = find(y + n);
                fa[find(x + 2 * n)] = find(y + 2 * n);
            }
        }
        else{
            if(find(x) == find(y) || find(x) == find(y + n)){
                ans++;
                continue;
            }
            else{
                fa[find(x)] = find(y + 2 * n);
                fa[find(x + n)] = find(y);
                fa[find(x + 2 * n)] = find(y + n);
            }
        }
    }
    cout << ans << '\n';
    system("pause");
}   
*/
 
#include
using namespace std;
 
const int maxn = 1001000;
int n, m;
int ans;
int fa[maxn];
int d[maxn];
 
int find(int x){
    if(x != fa[x]){
        int t = fa[x];
        fa[x] = find(fa[x]);
        d[x] = (d[x] + d[t]) % 3;;
    }
    return fa[x];
}
 
void merge(int x, int y, int type){
    int fax = find(x);
    int fay = find(y);
    if(fax == fay){
        if((type - 1) != (d[x] - d[y] + 3) % 3) ans++;
        return;
    }
    else{
        fa[fax] = fay;
        d[fax] = (d[y] - d[x] + type - 1) % 3;
    }
}
 
int main(){
    cin >> n >> m;
    int z, x, y;
    for(int i = 1; i <= n; i++) fa[i] = i;
    for(int i = 1; i <= m; i++){
        cin >> z >> x >> y;
        if(x > n || y > n || (z == 2 && x == y)){
            ans++;
            continue;
        }       
        else merge(x, y, z);
    }
    cout << ans << '\n';
    system("pause");
}