二分经典例题

整数二分：

题目链接：http://oj.daimayuan.top/course/22/problem/59

板子题：

#include
using namespace std;
const int N=2e6+10;
int a[N],n,q;
 
int calc1(int x){//查找第一个小于x的位置
	int L=0,R=n+1;
	while(L+1
		int mid=L+R>>1;
		if(a[mid]
		else R=mid;
	}
	return L;
}
 
int calc2(int x){//查找第一个小于等于x的位置
	int L=0,R=n+1;
	while(L+1
		int mid=L+R>>1;
		if(a[mid]<=x) L=mid;
		else R=mid;
	}
	return L;
}
 
inline void solve(){
	cin>>n>>q;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	sort(a+1,a+1+n);
	while(q--){
		int x;cin>>x;
		int x1=calc1(x),x2=calc2(x);
		cout<" "<" "<"\n";
	}
}
 
int main(){
	solve();
}

 题目链接：http://oj.daimayuan.top/course/22/problem/61

题意：给定一个长度为N的数组，以及最大操作次数K，求经过M次操作后使得数列中的最小值最大。

思路：要想使得最小值最大，那么一定是经过了K次操作，这里直接二分答案，通过答案来求解操作数

代码：

#include
using namespace std;
const int N=2e6+10;
int a[N],n,k;
 
bool check(int x){//检查答案是否符合条件
	int ans=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)
		ans+=max(0,x-a[i]);
	return ans<=k;
}
 
int main(){
	cin>>n>>k;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	int L=0,R=n+1;
	while(L+1//二分答案
		int mid=L+R>>1;
		if(check(mid)) L=mid;
		else R=mid;
	}
	cout<
}

题目链接：http://oj.daimayuan.top/course/22/problem/649

方法： 二分，怎么二分？

因为把所有序列给合并起来，再算和，是一定会TIE的。

如果可以求出每个序列都能满足条件的和，再把所有序列的和加起来，就好了。

 那么我们找出了位置，如何求和呢？

直接采用等差数列的公式进行O（1）求和：n*(a1+an)/2

代码：

#include
#define int long long
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n,k[N],b[N],m;
 
int calc(int z){//计算边界L左边小于等于z的个数
	int res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(z>=b[i]){
		//kx+b=z--->x=(z-b)/k
            int y=(z-b[i])/k[i]+1;//记录个数
		//为什么要加1，是因为每组序列中，都存在x=0的情况
			res+=y;//记录个数
		}
	}
	return res;
}
 
int sum(int z){
	int res=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		if(z>=b[i]){
			int y=(z-b[i])/k[i] + 1;//记录项数
			res+=1LL*((b[i]+(y-1)*k[i]+b[i])*y/2);//记录每个序列中的和
			//等差数列求和公式：n*(a1+an)/2
		}
	}
	return res;
}
 
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>k[i]>>b[i];
	cin>>m;
	int L=0,R=1e14;//R尽可能的大
	while(L+1//二分
		int mid=L+R>>1;
		if(calc(mid)<=m) L=mid;
		else R=mid;
	}
	int ans=sum(L)+1LL*((m-calc(L))*(L+1));//最终答案
	cout<
}

浮点数二分：

这里稍微讲一下：浮点数二分其实和整数二分是差不多的。唯一不同点在于：整数的二分次数是不确定的，而浮点数二分一般是能够算出来的，但是浮点数二分一般二分100次就可以了。 

题目链接：http://oj.daimayuan.top/course/22/problem/648

思路：二分答案。对于方向移动问题，我们可以考虑成区间的问题解答。 

举个例子：a b人在两个不同点，他们要达到目标点，给定两人的速度，问最少能够到达？

我们发现，只要两人跑到路程区间有交集，那么就可以到达，最少时间为跑的慢的人刚好到达目标点的时间。

那么为什么跑的快的人不会超过目标位置呢？

因为跑的快的人到达目标点后，是可以原地踏步的，就相当于在原地跑。（奇怪的知识又增加了Q_Q） 

同理：多人跑目标位置，也是一样的道理。每一次都要改变交集，以保持最优情况

代码：

#include
using namespace std;
const int N=2e5+10;
int n;
int pos[N],v[N];
 
bool check(double x){
	double L=-1e10,R=1e10;//初始区间尽可能大
	for(int i=1;i<=n;i++){
		double l=pos[i]-v[i]*x,r=pos[i]+v[i]*x;//求左右距离
		L=max(L,l);R=min(R,r);//求交集
	}
	if(L>R) return false;//若无交集
	return true;//有交集
}
 
signed main(){
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>pos[i]>>v[i];
	double L=0,R=5e4;//定义二分时间的区间//需根据题意自行判断区间
	for(int i=1;i<=100;i++){//二分次数100次
		double m=(L+R)/2;
		if(check(m)) R=m;
		else L=m;
	}
	cout<setprecision(10)<//输入L，R都可以
}

 二分+哈希求字符串最长回文子串的长度，我们秉着最优的方法，这里就不讲了。

二分+哈希：O（nlogn）    manacher：O（n） 

题目链接：http://oj.daimayuan.top/course/22/problem/698

二分求Lis（最长上升子序）也不讲了。秉着最优原则

题目链接： http://oj.daimayuan.top/course/22/problem/647