看骰子的六个面需要多少次

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前几天在刷视频的时候，发现了这样一道题

在这里插入图片描述

假设两次就能看到硬币的正反面，那么出现的情况可能为"正反"or“反正”(另外两个为"正正"，“反反”），概率为 $\frac{1}{2}$ ；
假设三次才能看到硬币的正反面，那么出现的情况可能为"正正反"or“反反正”(另外两个为"正正正"，“反反反”），概率为 $\frac{1}{4}$ (因为"正正"，"反反"出现的概率为 $\frac{1}{2}$ )；
以此类推…

n	2	3	$\cdots$	k
p	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$	$\cdots$	$\frac{1}{2^{k-1}}$

\begin{aligned} E n & = 2 * \frac{1}{2} + 3 * \frac{1}{4} + \dots + k * \frac{1}{2^{k - 1}} \\ 2 E n & = 2 + 3 * \frac{1}{2} + \dots + k * \frac{1}{2^{k - 2}} \\ 下 减 上 E n & = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2^{k - 2}} - k * \frac{1}{2^{k - 1}} = 3 \end{aligned}

E n 2 E n 下 减 上 E n = 2 * \frac{1}{2} + 3 * \frac{1}{4} + \dots + k * \frac{1}{2 ^{k - 1}} = 2 + 3 * \frac{1}{2} + \dots + k * \frac{1}{2 ^{k - 2}} = 2 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \dots + \frac{1}{2 ^{k - 2}} - k * \frac{1}{2 ^{k - 1}} = 3

将 $E_2$ 记为看到两名所用的平均次数，将 $E_1$ 记为看到一面所用的平均次数

\begin{aligned} E_{2} & = \frac{1}{2} (1 + E_{1}) + \frac{1}{2} (1 + E_{1}) \end{aligned}

E_{2} = \frac{1}{2} (1 + E_{1}) + \frac{1}{2} (1 + E_{1})

其中前一个

\frac{1}{2}(1+E_1)

表示第一次投到正面所需的平均次数(这个

E_1

表示投到反面所需的平均次数)，后一个

\frac{1}{2}(1+E_1)

表示第一次投到反面所需的平均次数(这个

E_1

表示投到正面所需的平均次数)；

而 $E_1$ 如果表示投到反面所需的平均次数
$E_1 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2}(1+E_1)$
其中前一个 $\frac{1}{2}$ 表示第一次就投到反面，后一个 $\frac{1}{2} E_1$ 表示第一次投到正面；

可以从中解出
$E_1 = 2 \\ E_2 = 3$

如果对于骰子仍采用一般解法，那会非常复杂；故采取递推方式

\begin{aligned} E_{6} & = \frac{1}{6} (1 + E_{5}) + \dots + \frac{1}{6} (1 + E_{5}) \\ = (1 + E_{5}) \\ E_{5} & = \frac{1}{6} (1 + E_{5}) + \frac{5}{6} (1 + E_{4}) \\ = \frac{6}{5} + E_{4} \\ E_{4} & = \frac{2}{6} (1 + E_{4}) + \frac{4}{6} (1 + E_{3}) \\ = \frac{6}{4} + E_{3} \\ E_{3} & = \frac{3}{6} (1 + E_{3}) + \frac{3}{6} (1 + E_{2}) \\ = \frac{6}{3} + E_{2} \\ E_{2} & = \frac{4}{6} (1 + E_{2}) + \frac{3}{6} (1 + E_{1}) \\ = \frac{6}{2} + E_{1} \\ E_{1} & = \frac{5}{6} (1 + E_{1}) + \frac{1}{6} \end{aligned}

E_{6} E_{5} E_{4} E_{3} E_{2} E_{1} = \frac{1}{6} (1 + E_{5}) + \dots + \frac{1}{6} (1 + E_{5}) = (1 + E_{5}) = \frac{1}{6} (1 + E_{5}) + \frac{5}{6} (1 + E_{4}) = \frac{6}{5} + E_{4} = \frac{2}{6} (1 + E_{4}) + \frac{4}{6} (1 + E_{3}) = \frac{6}{4} + E_{3} = \frac{3}{6} (1 + E_{3}) + \frac{3}{6} (1 + E_{2}) = \frac{6}{3} + E_{2} = \frac{4}{6} (1 + E_{2}) + \frac{3}{6} (1 + E_{1}) = \frac{6}{2} + E_{1} = \frac{5}{6} (1 + E_{1}) + \frac{1}{6}

解得
$E_1 = 6 \\ E_6 = 1 + \frac{6}{5} + \frac{6}{4} + \frac{6}{3} + \frac{6}{2} + 6 \\$

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原文地址：https://blog.csdn.net/weixin_52185313/article/details/127815346