PC_定点数_模+补码表示+补码相关性质

🎈🎈🎈🎈补码🎈🎈🎈🎈🎈

• 补码（英语：2’s complement）
  • 补数（complement）

补码&补数&模

如上分析,负数求补码的时候,手工求模的一种方式就是:只需要加上一个模即可(不限于二进制)

• 一个负数可以用它的正补数来代替,这个正补数:(可以用模加上负数本身求得这个正补数)。(当然,默认的,负数的绝对值不超过模,否则对其进行取模运算,然后将的到的结果执行上述操作,下文一样)
• 一个正数和一个负数互为补数时，它们绝对值之和即为模数。
• 正数的补数即该正数本身。
  将补数的概念用到计算机中，便出现了补码这种机器数。

由真值手算补码:

• 对于二进制数求补码,我们有更高效的方法

  • 对真值$x<0$的二进制原码形式$T(x)$数值位部分各位取反后再加1即可)
    • 简称为原码数值位取反加一操作,记为$C(x)$操作
  • 补码之所以有利于加减法的统一,是因为,求补码的手段可以通过对原码各个数值位取反加一;
  • 而对于手算补码,可以采用$C(x)$(但是仅限于对二进制数有效)
  • 另外,真值$x⩾0$时,没有上述规律,也不需要执行$C(x)$操作

• 也可以通过补码的形式化定义,可以采用手工二进制减法来计算负数的补码

  • 注意机器寄存器位数(机器字长),可能需要补0对齐),

补码的形式化定义

• complement(补码)

• 基于寄存器字长rbs=(1+n)的划分结构:

  • rbs:register bits

• 以下公式中的x均为真值

纯整数:

• C ( x ) = [ x ] 补 = { x , 0 ⩽ x < 2 n 2 n + 1 + x = 2 n + 1 − ∣ x ∣ , − 2 n ⩽ x ⩽ 0 ( m o d 2 n + 1 ) C(x)=[x]_补= {x,0⩽x<2n2n+1+x=2n+1−|x|,−2n⩽x⩽0

  {x,2n+1+x=2n+1−|x|,0⩽x<2n−2n⩽x⩽0
  \quad (mod\quad 2^{n+1}) \\ C(x)=[x]补​={x,2n+1+x=2n+1−∣x∣,​0⩽x<2n−2n⩽x⩽0​(mod2n+1)

• 根据前面的模&补数的分析,这里的公式(x<=0)的情况的公式就好理解,

  • 这里的模是$ 2^{n+1}$而不是$2^n$;就是负数加模(模+负数)

例

• $$\begin{gathered} x_1=+1010 \\ {x}_2=-1101 \\ 字长为8,n=8-1=7(7位数值位) \\ n+1=8(恰好等于字长) \\ C(x_1)=x_1=0,1010000(补齐数值位到8-1=7位) \\ C(x_2)=x_2=2^8+x=2^8-|x|=100000000-1101 \\ =10000000+10000000-1101 \\ =2^7+2^7-(2^4-1-2) \\ =2^7+2^2\cdot 2^5-(2^4-1-2) \\ =2^7+2^2\cdot 2^5-(2^4-2^0-2^1) \\ =2^7+3\cdot 2^5+(2^5-2^4)+2^1+2^0 \\ =2^7+3\cdot 2^5+(2\cdot 2^4-2^4)+2^1+2^0 \\ =2^7+3\cdot 2^5+2^4+2^1+2^0 \\ =1,1110011 \end{gathered}$$

纯小数

• C ( x ) = [ x ] 补 = { x , 0 ⩽ x < 1 2 + x = 2 − ∣ x ∣ , − 1 ⩽ x < 0 ( m o d 2 ) C(x)=[x]_{补}= {x,0⩽x<12+x=2−|x|,−1⩽x<0

  {x,2+x=2−|x|,0⩽x<1−1⩽x<0
  \quad (mod\quad 2 ) C(x)=[x]补​={x,2+x=2−∣x∣,​0⩽x<1−1⩽x<0​(mod2)

• $$\begin{gathered} x_1=+0.1001 \\ {x}_2=-0.0110 \\ 机器字长为8bit \\ 求上述两个真值的补码 \\ 解:n=8-1=7 \\ C(x_1)=x_1=0,1001000 \\ C(x_2)=2+x_2=2-0.0110=1.0000000+(1.0000000-0.0110000)=1.1010000 \end{gathered}$$

表示范围

• 纯整数补码可以表示的(真值)范围:

  • $$\begin{gathered} 设字长为n+1(1:符号位1位,n:数值位位数) \\ -2^n⩽x⩽2^n-1 \end{gathered}$$

    • $共有s=2^n-1-(-2^n)+1=2^{n+1}$个数

      • 恰好可以表示$2^{字长}$个数
      • $(但是最大的数只有2^{字长-1}-1)$

    • $$\begin{gathered} 比原码可以多表示一个数 \\ 原码由于占用了两个编码来表示0,补码仅占用了一个, \\ 所有的不同编码充分用来表示不同的数 \\ (多表示一个下限值(约定原码中的负0(\mathrm{10..000}表示-2^n))) \end{gathered}$$

🎈补码基本性质:补码和相反数的关系

• 真值相反数的补码等于真值补码的相反数
• 🎈根据某个数的补码求其相反数的补码

$$求证:[-B{]}_{补}=-[B{]}_{补}$$

• 在补码减法公式那里有:

• $$[A-B{]}_{补}=[A{]}_{补}+[-B{]}_{补}$$

• 我们只需要令A=B

  • KaTeX parse error: Invalid size: 'B' at position 31: …{补}+[-B]_{补}\\ [̲B̲]̲_{补}+[-B]_{补}=0…

• 前面还提到,$[-B{]}_{补}$由$[B{]}_{补}$连同符号位在内,每位取反,末位加1

• 对于整数:

  • 如果 : [ B ] 补 = b 0 , b 1 b 2 ⋯ b n ; ( b i ∈ {   0 , 1   } ; b i ⩽ 1 ) 那么 : [ − B ] 补 = b 0 ‾ , b 1 ‾   b 2 ‾   ⋯   b n ‾ + 1 ; 其中 b 0 b 1 b 2 ⋯ b 3 是 0 / 1 串 ( b 0 ) 是符号位 ; B 是真值 , 而且正负都适用 ; 如果:[B]_补=b_0,b_1b_2\cdots b_n; (b_i\in\set{0,1};b_i\leqslant{1}) \\ 那么:[-B]_补=\overline{b_0},\overline{b_1}\ \overline{b_2}\ \cdots \ \overline{b_n}+1; \\其中b_0b_1b_2\cdots b_3是0/1串 \\(b_0)是符号位; \\B是真值,而且正负都适用; 如果:[B]补​=b0​,b1​b2​⋯bn​;(bi​∈{0,1};bi​⩽1)那么:[−B]补​=b0​​,b1​​ b2​​ ⋯ bn​​+1;其中b0​b1​b2​⋯b3​是0/1串(b0​)是符号位;B是真值,而且正负都适用;

    • KaTeX parse error: Invalid size: '-B' at position 79: …}}_{n个1} \\ \\ [̲-̲B̲]̲_补=2^n-B=(2^n-1…

• 对于小数依然成立

  • $$\begin{gathered} C(x)=y_0.y_1{y}_2\cdots y_n \\ 则 \\ C(-x)=\overline{y_0}.\overline{y_1}\overline{y_2}\cdots \overline{y_n}+2^{-n} \end{gathered}$$

    • $即,由C(x)求C(-x),可以通过将符号位在内,每一位bit取反末尾再加1得到$

      • 在补码减法运算中常用

    • $利用上述结论,可以省去过渡到原码的步骤,在已知x的补码的情况下,可以直接求解C(-x)$

    • 由补码求原码,可以对补码再次求补,即可得到原码

      • 可以通过补码的形式化(公式)定义得到
      • 一般将寄存器中保存的有符号机器数做如下划分(划分位1+n)

  • 推导

    • 分为正负两种情况;

      • $$\begin{gathered} 已知C(y),求C(-y) \\ 仅讨论纯小数 \\ 设真值y的补码C(y)=y_0.y_1{y}_2\cdots y_n \\ cases1:(y_0=0) \\ 即:C(y)=0.y_1{y}_2\cdots y_n \\ 真值y=+0.y_1{y}_2\cdots y_n \\ -y=-0.y_1{y}_2\cdots y_n \\ C(-y)=1.\overline{y_1}\overline{y_2}\cdots \overline{y_n}+2^{-n} \\ cases1:(y_0=1) \\ 即:C(y)=1.y_1{y}_2\cdots y_n \\ 真值y=-0.y_1{y}_2\cdots y_n \\ -y=+0.y_1{y}_2\cdots y_n \\ C(-y)=0.\overline{y_1}\overline{y_2}\cdots \overline{y_n}+2^{-n} \end{gathered}$$

🥽补码问题示例

分别用原码,补码和移码表示浮点数

• $设浮点数格式为:阶码5位(含1位阶符),尾数11位(含1位数符)$

• $写出\frac{51}{128},-\frac{27}{1024},7.375,-86.5所对应的机器数.要求如下$
  (1):源码
  (2):补码
  (3):移码

• $共四组(1)(2)(3),分别对应于x_1,x_2,x_3,x_4的解答:$

🎈🧧补码与真值的转换

• 记号说明:

  • $设真值x的原码为T(x)$
  • $x取补码后得到C(x)$

• 老规矩,先分析正负

  • 如果给定的原码是以下集中情况,则判定为负数

    • -开头的十进制数🎋
    • 1开头的进制数
    • $8\sim F$开头的十六进制

  • 否则给定的数就是正数,属于最简单的情况,原码补码反码三码相等,真值的二进制形式就是原码的符号位0改为+号

    • 根据需要可以吧二进制数转为十进制数

  • $对于真值为负数的x(<0),假设给定的串是C(x):$

    • $保留符号位1,后续的数值位每位取反在加1,即可得到x的原码T(x),符号位1改为-号,得到x的真值$

• 在C语言打印变量值的时候,经常需要从给定的补码计算出对应的

• 补码和原码其实互为补码!(无论正负都可以这么说)

  • $对C(x)再次执行取补码操作(C(C(x)))得到T(x)$

  • 即:

    • $$\begin{gathered} T(x)=C(C(x)) \\ C(x)=C(T(x)) \end{gathered}$$

补码中的0只有一种表示形式?

• 或者说,真值0的补码只有一种形式

• 下面的实例说明,真值0(+0和-0)的补码形式是一致的

  • $$\begin{gathered} x=0时: \\ 不强调字长,则统计数值位整数位数: \\ 取n=4C(+0.0000)=0.0000 \\ C(-0.0000)=2_{10}+(-0.0000{)}_2=10.0000_2-0.0000_2=0.0000 \\ (由于是单符号位,最高位1被舍弃,符号位为0(双符号位则另外考虑)) \end{gathered}$$

• 对于机器数(补码),符号是参加运算的,数值位的加法进位会进位到符号位,因为进位而超过机器字长的部分将会被丢弃,从而产生了和模的效果

• 对于+0,视为正数处理,即补码和原码一致,都是全0

• -0的真值可以通过形式化定义的公式来求(临界情况)

双符号位(变形补码)

• 即,寄存器字长以rbs=2+n划分符号位和数值位,那么对于整数

补码小数

• $$\begin{gathered} 变形补码,又称为模4补码(\mathrm{mod}4) \\ 双符号位的补码小数定义为: \\ DC(x)=[x{]}_{补}=\{\begin{array}{ll}x,& 0⩽x<1\\ 4+x=4-|x|,& -1⩽x<0\end{array}(\mathrm{mod}4) \end{gathered}$$

整数

• $$\begin{gathered} [x{]}_{{补}_{双符号位}}=2^{寄存器位数}+x=2^{2+n}+x \\ =2^{2+n}-|x|,x<0, \end{gathered}$$

$-128$相关问题

• 按照前讲的,如果考虑符号位的话,8位数是不够表示带符号位的真值-128的

• -128的(真值)绝对值的二进制表示为:1000,0000
  考虑符号位,岂不是1,1000,0000?

• 然而,对于8位字长的限制下,补码可以表示到-128

• 原码的1000,0000表示负0(8位有符号数原码表示不了-128)
  而补码中0就是0000,0000(空出来的-0(1,000,0000)被用于表示最小负数(最大绝对值负数)

🎞🎞附:wikipedia中补码相关介绍

补码 （英语：2’s complement）是一种用二进制表示有符号数的方法，也是一种将数字的正负号变号的方式，常在计算机科学中使用。

补码以有符号比特(符号位)的二进制数定义。

• 正数和0的补码就是该数字本身(绝对值(或者说视为无符号值)的二进制形式)再补上最高比特0。> * 负数的补码则是将其对应正数==按位取反再加1==。(注意,是先确定其对应的正数(原码)取反(连通符号位都取反)再加一(意味着严格<0的数的补码符号位(最高位)会是1)
• 补码系统的最大优点是可以在加法或减法处理中，不需因为数字的正负而使用不同的计算方式。
• 只要一种加法电路就可以处理各种有号数加法，而且减法可以用一个数加上另一个数的补码来表示，
• 因此只要有加法电路及补码电路即可完成各种有号数加法及减法，在电路设计上相当方便。
• 另外，补码系统的0就只有一个表示方式，这和反码系统不同（在反码系统中，0有二种表示方式），因此在判断数字是否为0时，只要比较一次即可。

右侧的表是一些8-bit补码系统的整数。

它的可表示的范围包括-128到127，总共256（= $ 2^{8}$ ）个整数。

• 我们说,补码表示法中,真值0的补码表示法的形式只有一种(0,0…0)(对应于原码表示法中的正零;
• 除0之外的其它的数是一一对应,补码中(1,0…0)被空出来了(即原码中表示的负零的那个码在补码体系中对应的真值是多少?
• 它可以表示给定机器字长的最小(负)整数(表示范围中的下限)

特别的补码

有两个数字的补码等于本身：

• 一个是0
• 另一个为该比特内可表示有符号位区分的二进制形式的下界负数（即1000…形式的补码值）。
• 国外介绍的反码系统和国内教材介绍的有所区别
  

补码的工作原理

• 所以模256下的加减法，用0, 1, 2,…, 254,255表示其值，或者用−128, −127,…, −1, 0, 1, 2,…,127是完全等价的。
• −128与128，−127与129，…，−2与254，−1与255可以互换而加减法的结果不变。
• 从而，把8位（octet）的高半部分（即二进制的1000 0000到1111 1111）解释为−128到−1，
• 同样也实现了模256的加减法，而且所需要的CPU加法运算器的电路实现与8位无符号整数并无不同。

实际上对于8比特的存储单元，把它的取值[00000000,…, 11111111]解释为[0, 255]，或者[-1, 254]，或者[-2, 253]，或者[-128, 127]，或者[-200, 55]，甚至或者[500, 755]，对于加法硬件实现并无不同。