高等数值计算方法学习笔记第4章【数值积分（数值微分）】

一、数值积分概论

1.数值求积的基本思想(牛-莱公式找不到原函数，用矩形近似)

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I是Integral

梯形公式就是：上底加下底乘高除2。

如表面意思，左右中就代表取函数的左右中的端点值。

这里累计求和就是分段求近似解。A_k类似于(b-a) x_k可以取左右中等。

2.代数精度的概念

定义4-1
如果某个求积公式对于次数不超过 m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次的多项式就不准确成立, 则称该求积公式具有m 次代数精度。

1.上述四个公式的代数精度（梯形，左中右矩形公式）

梯形
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左中右矩形公式同理，将公式代入就行。

公式	具有的代数精度
左矩形公式	0
中矩形公式	1
右矩形公式	0
梯形公式	1

2.利用代数精度的概念构造求积公式

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3个未知数，构造三个方程，解方程。（积分区间为相反数，奇函数结果为0）：

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4个未知数，构造四个方程，解方程：

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3.插值型的求积公式

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什么是拉格朗日插值多项式？（点击！！！）

R是Remainder
书101页
公式：
$\omega _{n+1}=(x-x_0)(x-x_1)...(x-x_n)$

1.11是带权积分中值定理。后面用到。

parabola抛物线
L是Lagrange拉格朗日

二、牛顿-柯特斯公式（第二次课）

1.柯特斯系数

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柯特斯系数推导要记忆。其实就是将k-j分母连乘提取出来并且将h=(b-a)/n带入即可。
注意k取(0,1,2,3...n)

此处需要推导：

出现负数不稳定的原因是因为前面的带权积分中值定理，需要不变号才能成立。

##############公式表格##############

名称	公式	误差(余项)
梯形公式
辛普森(Simpson)公式		展开得：
柯特斯(Cotes)公式		(不做要求)
插值型的求积公式

公式好记 $\sum_{k=0}^{n} A_kf_k$ 其中f_k是均分的，然后系数A_k需要记忆。
e=2.718281828459

2.例题（5个）

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其中C是Continuous。C²代表二阶导连续。同理Cⁿ代表n阶导连续。
注意k取(0,1,2,3...n)套上面公式即可。

1,4,1公式

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H是Hermite。什么是Hermite？埃尔米特插值点击！！！

第三个等式到第四个等式用到了上面的带权积分中值定理。 g(x)不变号，f(x)可以提取出来。

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7，32，12，32，7
什么是截断误差？点击！！

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例题4的这个积分其实就是π= 3.1415926
什么是截断误差？点击！！
套公式！
e=2.718281828459

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3.牛顿-柯特斯公式的代数精度（定理4-2）

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知道即可，证明不要求。（证明看带权积分中值定理，误差余项）

4.回顾、加强与补充学习

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将f(x)=1，x,，x²，x³…带入得到下面等式。

范德蒙行列式百度百科！

可以直接套用上面的矩阵，不用一个个求积分了
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将f(x)=1，x,，x²，x³…，xⁿ带入如果带入x^m左右两边相等，说明求积公式的代数精度为m
注意一般需要将x^m+1带入说明当f(x)=x^m+1时等式不成立
A_k叫求积系数，一般为正数，数值稳定的。

三、复合（化）求积公式

1.问题与基本思想

在使用牛顿-柯特斯公式时将导致求积系数出现负数(当n≥8时,牛顿.柯特斯求积系数会出现负数)，因而不可能通过提高阶的方法来提高求积精度。（就是不满足前面带权积分中值定理的条件）
为了提高精度通常采用将积分区间划分成若干个小区间，在各小区间上采用低次的求积公式(梯形公式或辛普森公式)，然后再利用积分的可加性，把各区间上的积分加起来，便得到新的求积公式，这就是复化求积公式的基本思想。本节只讨论复化的梯形公式和复化的辛普森公式。

前面提到带权积分中值定理，求积系数不能变号。
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可以看到有的小区间取的多，有的少。

2.复合梯形公式

h就是一个小步长。即 $x_k-x_{k-1}=(a+kh)-(a+(k-1)h)=h$
记住h=(b-a)/n= $x_k-x_{k-1}$
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其实就是上面梯形余项的求和。然后利用了连续函数的介值定理。后面有证明！

I是Integral积分
T是Trapezoid梯形
composite复合的