【数据结构与算法】图的基本概念

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💖 系列专栏：数据结构与算法
🌠 首发时间：2022年11月8日
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图的定义

图 $G$ 由顶点集 $V$ 和边集 $E$ 组成，记为 $G=(V,E)$，其中 $V(G)$ 表示图 $G$ 中顶点的有限非空集；$E(G)$ 表示图 $G$ 中顶点之间的关系（边）集合。若 V = { v 1 , v 2 , . . . , v n } V=\{v_1, v_2, ... , v_n\} V={v1​,v2​,...,vn​}，则用 $|V|$ 表示图 $G$ 中顶点的个数，也称为图 $G$ 的阶，$E=\{(u,v)|u\in V,v\in V\}$， 用 $|E|$ 表示图 $G$ 中边的条数

注意：线性表可以是空表，树可以是空树，但图不可以是空图，即 $V$ 一定是非空集，但 $E$ 可以是空集

有向图

若 $E$ 是有向边（也称弧）的有限集合时，则图 $G$ 为有向图。弧是顶点的无序对，记为 $<v,w>$，其中 $v、w$ 是顶点，$v$ 称为弧尾，$w$ 称为弧头，$v、w$ 称为从顶点 $v$ 到顶点 $w$ 的弧，也称为 $v$ 邻接到 $w$，或 $w$ 邻接自 $v$。$<v,w>\ne <w,v>$

上图可以表示为

$G_1=(V_1,E_1)$
V 1 = { A , B , C , D , E } V_1 = \{A, B, C, D, E\} V1​={A,B,C,D,E}
E 1 = { < A , B > , < A , C > , < A , D > , < A , E > , < B , A > , < B , C > , < B , E > , < C , D > } E_1 = \{, , , , , , , \} E1​={<A,B>,<A,C>,<A,D>,<A,E>,<B,A>,<B,C>,<B,E>,<C,D>}

无向图

若 $E$ 是无向边（简称边）的有限集合时，则图 $G$ 为无向图。边是顶点的无序对，记为 $(v,w)$ 或 $(w,v)$，因为 $(v,w)=(w,v)$，其中 $v、w$ 是顶点。可以说顶点 $w$ 和顶点 $v$ 互为邻接点。边 $(v,w)$ 依附于顶点 $w$ 和 $v$，或者说边 $(v,w)$ 和顶点 $v、w$ 相关联

上图可以表示为

$G_2=(V_2,E_2)$
V 2 = { A , B , C , D , E } V_2 = \{A, B, C, D, E\} V2​={A,B,C,D,E}
$E_2=\{(A,B),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E),(D,E)\}$

简单图、多重图

简单图 —— 不存在重复边；不存在顶点到自身的边

多重图 —— 图 $G$ 中某两个结点之间的边数多于一条，又允许顶点通过同一条边和自己关联，则 $G$ 为多重图

简单图和多重图也有无向图和有向图之分

顶点的度、入度、出度

对于无向图：顶点 $v$ 的度是指依附于该顶点的边的条数，记为 $TD(v)$

在具有 $n$ 个顶点、$e$ 条边的无向图中，${\sum }_{i=1}^{n}TD(v_i)=2e$，即无向图的全部顶点的度的和等于边数的 $2$ 倍

对于有向图：

• 入度是以顶点 $v$ 为终点的有向边的数目，记为 $ID(v)$
• 出度是以顶点 $v$ 为起点的有向边的数目，记为 $OD(v)$
• 顶点 $v$ 的度等于其入度和出度之和，即 $TD(v)=ID(v)+OD(v)$

在具有 $n$ 个顶点、$e$ 条边的有向图中，${\sum }_{i=1}^{n}ID(v_i)={\sum }_{i=1}^{n}OD(v_i)=e$

顶点-顶点的关系描述

• 路径 —— 顶点 $V_p$ 到顶点 $V_q$ 之间的一条路径是指顶点序列 $V_p,V_{i_1},V_{i_2},\dots ,V_{i_m},V_q$
• 回路 —— 第一个顶点和最后一个顶点相同的路径称为回路或者环
• 简单路径 —— 在路径序列中，顶点不重复出现的路径称为简单路径
• 简单回路 —— 除第一个顶点和最后一个顶点外，其余顶点不重复出现的回路称为简单回路
• 路径长度 —— 路径上边的数目
• 点到点的距离 —— 从顶点 $u$ 出发到顶点 $v$ 的最短路径若存在，则此路径的长度称之为从 $u$ 到 $v$ 的距离；若从 $u$ 到 $v$ 根本不存在路径，则记该距离为无穷（$\infty$）
• 无向图中，若从顶点 $v$ 到顶点 $w$ 有路径存在，则称 $v$ 和 $w$ 是连通的
• 有向图中，若从顶点 $v$ 到顶点 $w$和从顶点 $w$ 到顶点 $v$ 之间都有路径，则称这两个顶点是强连通的

连通图、强连通图

若无向图 $G$ 中任意两个顶点都是连通的，则称图 $G$ 为连通图，否则称为非连通图

若有向图中任意一对顶点都是强连通的，则称此图为强连通图

对于 $n$ 个顶点的无向图 $G$：

• 若 $G$ 是连通图，则最少有 $n-1$ 条边
• 若 $G$ 是非连通图，则最多有 $C_{n-1}^2$ 条边

对于 $n$ 个顶点的有向图 $G$：

• 若 $G$ 是强连通图，则最少有 $n$ 条边（形成回路）

子图

设有两个图 $G=(V,E)$ 和 $G^{\prime }=(V^{\prime },E^{\prime })$，若 $V^{\prime }$ 是 $V$ 的子集，且 $E^{\prime }$ 是 $E$ 的子集，则称 $G^{\prime }$ 是 $G$ 的子图

若有满足 $V(G^{\prime })=V(G)$ 的子图 $G^{\prime }$，则称其为 $G$ 的生成子图，也就是比如说一个子图中有原图的所有点，但少了一些边，那么可以说这个子图是原图的生成子图

连通分量、强连通分量

无向图中的极大连通子图称为连通分量，其中，极大连通子图是指子图必须连通，且包含尽可能多的顶点和边

有向图中的极大强连通子图称为有向图的强连通分量，其中，极大强连通子图是指子图必须强连通，同时保留尽可能多的边

生成树

连通图的生成树是包含图中全部顶点的一个极小连通子图（边尽可能少，但要保持连通）

若图中顶点数为 $n$，则它的生成树有 $n-1$ 条边。对生成树而言，若砍去它的一条边，则会变成非连通图，若加上一条边则会形成一个回路

生成森林

在非连通图中，每个连通分量的生成树构成了非连通图的生成森林

边的权、带权图/网

• 边的权 —— 在一个图中，每条边都可以标上具有某种含义的数值，该数值称为该边的权值
• 带权图/网 —— 边上带有权值的图称为带权图，也称为网
• 带权路径长度 —— 当图是带权图时，一条路径上所有边的权值之和，称为该路径的带权路径长度

几种特殊形态的图

• 无向完全图 —— 无向图中任意两个顶点之间都存在边
  • 若无向图的顶点数 $|V|=n$，则 $|E|\in [0,C_n^2]=[0,\frac{n(n-1)}{2}]$
• 有向完全图 —— 有向图中任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧
  • 若有向图的顶点数 $|V|=n$，则 $|E|\in [0,2C_n^2]=[0,n(n-1)]$
• 边数很少的图称为稀疏图，反之称为稠密图，边数没有绝对的界限，一般来说 $|E|<|V|log|V|$ 时，可以将 $G$ 视为稀疏图
• 树 —— 不存在回路，且连通的无向图。对于 $n$ 个顶点的树，必有 $n-1$ 条边
• $n$ 个顶点的图，若 $|E|>n-1$，则一定有回路
• 有向树 —— 一个顶点的入度为 $0$，其余顶点的入度均为 $1$ 的有向图，称为有向树，有向树不一定是强连通图