Av=σu
A
H
u=σv,
其中 A
H
是 A 的 Hermitian 转置。奇异向量 u 和 v 通常缩放至范数为 1。此外，如果 u 和 v 均为 A 的奇异向量，则 -u 和 -v 也为 A 的奇异向量。
奇异值 σ 始终为非负实数，即使 A 为复数也是如此。对于对角矩阵 Σ 中的奇异值以及构成两个正交矩阵 U 和 V 的列的对应奇异向量，方程为
AV=UΣ
A
H
U=VΣ.
由于 U 和 V 均为单位矩阵，因此将第一个方程的右侧乘以 V
H
会生成奇异值分解方程
A=UΣV
H
.
m×n 矩阵的完整奇异值分解涉及：
m×m 矩阵 U
m×n 矩阵 Σ
n×n 矩阵 V
换句话说，U 和 V 均为方阵，Σ 与 A 的大小相同。如果 A 的行数远多于列数 (m > n)，则得到的 m×m 矩阵 U 为大型矩阵。但是，U 中的大多数列与 Σ 中的零相乘。在这种情况下，精简分解可通过生成一个 m×n U、一个 n×n Σ 以及相同的 V 来同时节省时间和存储空间：