开环零点与闭环零点对系统的影响

  在STM32——直流电机PI调速中，得到了小电机的传递函数

以这个电机为例展开开环零点与闭环零点对电机响应的影响。系统中极点是影响系统动态性能以及稳定性的主要因素，这里不做赘述。

开环零点对系统响应的影响

不含零点

  在为什么是PID控制中提到过，一阶系统只用比例控制是无法消除稳态误差的，必须要使用积分控制，那么在只使用积分控制的情况下，即

系统框图如下

则系统的开环传递函数为

闭环传递函数为

由闭环传递函数可以看出，由于没有开环零点，闭环极点由开环极点决定（不看开环增益），任然取$\zeta =0.9$,于是

系统的响应如图

从图中可以看出，无稳态误差，但有几乎可以忽略的超调，调节时间$2s$左右，这响应已经十分慢了。

含零点

  我们用$PI$控制器来引入这个零点，$PI$控制器的传递函数为

系统框图如下

开环传递函数为

闭环传递函数

从这个闭环传递函数中可以看出，开环零点与开环极点共同决定闭环极点，闭环零点由开环零点决定（不看开环增益）。与上述积分控制情况下相比

  从表中可以看出，当两种控制器积分系数$K$_i相同时，系统的无阻尼自然频率 $\omega$_n也相同，但相比$I$控制的系统，$PI$控制系统的阻尼比$\zeta$要更大，那么超调量更小，调节时间更短。那么也就是说，在$I$控制与$PI$控制下系统的阻尼比$\zeta$相同时，$PI$控制的积分系数$K$_i要更大，无阻尼自然频率 $\omega$_n也更大，故两个系统响应的超调量相同，但$PI$控制的系统调节时间会更短。
  取

此时对比相同阻尼比$\zeta$情况下，两种控制器的控制效果

可以看出，$I$控制即未引入开环零点时，系统响应调节时间长，超调可以忽略不计，但$PI$控制即引入开环零点时，系统响应虽然调节时间很短，但却有一个较为明显的超调，这是由于引入开环零点时，同时引入了闭环零点。

闭环零点对系统响应的影响

  上述中可以发现，尽管阻尼比$\zeta$相同，$PI$控制却有了一个明显的超调，这是闭环零点造成的，我们可以引入一个闭环极点来消掉这个闭环零点，也就是引入一个前置滤波器。在$K$_p $=0.22$,$K$_i $=1.51$时的闭环传递函数

那么要消掉这个闭环零点，前置滤波器可以确定为

系统框图如下

此时系统响应为

可以看出，引入前置滤波器后，调节时间没有明显的变化，但消除了那个明显的超调（其实并没有完全消除超调量，此时的超调量很小可以忽略不计）。所以，闭环零点会增加系统响应的超调量，原因如下
将闭环传递函数

改成如下结构

它的响应与原闭环传递函数响应相同，来看看各位置响应

蓝色曲线表示经过微分后的输出，绿色曲线表示经$K$_i后的输出，两条曲线相加就是橙色曲线，即原闭环传递函数的响应曲线，从这个图可以看出，引入闭环零点后，会增加超调，同时也会减小系统响应的峰值时间。