【学习笔记】《Python深度学习》第二章：神经网络的数学基础

1 神经网络的数据表示

张量
一个数据容器，包含的数据几乎总是数值数据。张量是矩阵向任意维度的推广。
张量的维度叫作轴。

1.1 标量（0D张量）

标量（Scaler，也叫作标量张量、零维张量、0D张量），仅包含一个数字。
标量张量有0个轴（ndim==0），张量轴的个数也叫作阶（rank）。

1.2 向量（1D张量）

向量（Vector，一维张量、1D张量），由数字组成的数组。

X = np.array([12, 3, 6, 14， 7]）
这个向量有5个元素，所以称为5D向量。不要把5D向量和5D张量混淆，前者只有一个轴，沿着轴有5个维度，而5D张量有5个轴。
维度可以表示沿着某个轴上的元素个数（比如5D向量），也可以表示张量中轴的个数（比如5D张量）。

1.3 矩阵（2D张量）

矩阵（matrix，二维张量、2D张量），由向量组成的数组。
矩阵有2个轴（行和列），第一个轴上的元素叫做行，第二个轴上的元素叫做列。

1.4 3D张量与更高维张量

3D张量，由多个矩阵组成的数组。
将多个3D张量合成数组，创建出4D张量，以此类推。

深度学习处理的一般是0D到4D的张量，但处理视频数据时可能遇到5D张量。

1.5 关键属性

张量由以下三个关键属性定义：

• 轴的个数（阶）
  即ndim，3D张量有3个轴。
• 形状
  这是一个整数数组，表示张量沿每个轴的维度大小（元素个数）。例如，矩阵的形状为（3， 5），向量形状只包含一个元素，比如（5，）；而标量的形状为空，即（）。
• 数据类型
  这是张量中所包含数据的类型。

1.6 在Numpy中操作张量

张量切片：选择张量的特定元素。

（1）常见的切片运算
例1：选择第10~100个数字，并将其放在形状为（90，28，28）的数组中。

# shape == (90, 28, 28)
my_slice = train_images[10:100]
my_slice = train_images[10:100, :, :] # 同上，:等同于选择整个轴
my_slice = train_images[10:100, 0:28, 0:28] # 同上
1
2
3
4

（2）还可以沿着每个张量轴在任意两个索引之间进行选择。

例2：在所有图像的右下角选出14*14像素的区域。

my_slice = train_images[:, 14:, 14:]
1

（3）也可以使用负数索引，表示与当前轴终点的相对位置。

例3：在图像中心裁剪出14像素*14像素的区域。

my_slice = train_images[:, 7:-7, 7:-7]
1

1.7 数据批量的概念

通常来说，深度学习中所有数据张量的第一个轴（0轴）都是样本轴（sample axis，也称样本维度）。
此外，深度学习模型不会同时处理整个数据集，而是将数据拆分为小批量，对于这种批量张量，第一个轴叫做批量轴（batch axis, 批量维度）。

1.8 现世界中的数据张量

• 向量数据：2D张量，形状为（samples, features）
• 时间序列数据或序列数据：3D张量，形状为（samples, timesteps, features）
• 图像：4D张量，形状为（samples，height, width, channels）或（samples, channels, height, width）
• 视频：5D张量，形状为（samples，frames，height，width，channels）或（samples，frames，channels，height，width）

1.9 向量数据

对于这种数据集，每个数据点都被编码为一个向量，因此一个数据批量被编码为2D张量，其中第一个轴是样本轴，第二个轴是特征轴。

1.10 时间序列数据或序列数据

当时间（或序列顺序）对于数据很重要时，应该将数据存储在带有时间轴的3D向量中。每个样本可以被编码为一个向量序列（2D张量），因此一个数据批量就被编码为一个3D张量。
按照惯例，时间轴始终是第2个轴（索引为1）。

形如(样本，时间步长，特征)

1.11 图像数据

图像通常具有三个维度：高度、宽度和颜色深度。
虽然灰度图像（MNIST数字图像）只有一个颜色通道，因此可以保存在2D张量里。
但按照惯例，图像张量始终都是3D张量。

形如（样本，高度，宽度，颜色通道）–通道在后 TensorFlow使用
或（样本，颜色通道，高度，宽度）–通道在前 Theano使用
Keras框架同时支持以上两种格式。

1.12 视频数据

视频可以看作一系列帧:

• 每一帧都是一张彩色图像，因此可以保存在形如（height，width，color_depth）的3D张量中；
• 一系列帧可以保存在形如（frames，height，width，color_depth）的4D张量中；
• 不同视频组成的批量 可以保存在形如（samples，height，width，color_depth）的5D张量中。

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2 张量运算

2.1 逐元素运算

relu运算和加法都是逐元素的运算，即该运算独立地应用于张量中的每个元素，它们非常适合大规模并行（向量化）实现。

2.2 广播

1. 概念
如果两个形状不同的张量相加，较小的张量会被广播，以匹配较大的张量。

2. 广播的两个步骤

• 向较小的张量添加轴（广播轴），使其ndim与较大的张量相同；
• 较小的张量沿着新轴重复，使其形状与较大的张量相同。

2.3 张量点积 np.dot

1. 概念
张量点积，也叫张量积，它将输入张量的元素合并在一起，需要和逐元素的乘积区分。

2. 点积概念

• 两个向量之间的点积是一个标量，而且只有元素个数相同的向量之间才能做点积；
• 一个矩阵和一个向量做点积，返回值是一个向量，其中每个元素是y和x每一行之间的点积；
• 两个矩阵x和y做点积，当且仅当x.shape[1]==y.shape[0] 时，才可以做点积，得到形如（x.shape[0]，y.shape[1]）的矩阵，其元素为x的行与y的列之间的点积。
• 如果两个张量中有一个的ndim大于1，那么dot运算不再对称，即dot(x,y) ≠ dot(y,x)
• 更高维的张量做点积，只要其形状匹配遵循与前面2D张量相同的原则：
  （a,b,c,d）. （d,） -> （a, b, c）
  （a,b,c,d）. （d,e） -> （a,b,c,e）
  

2.4 张量变形

1.定义： 改变张量的行和列，得到想要的形状。变形后张量的元素总个数与初始张量相同。

2.例子

• x.reshape()
• 转置np.transpose(x)，将行和列互换，使得x[i, :]变为x[:, i]

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3 基于梯度的优化

以下是每个神经层对输入数据进行的变换
output = relu(dot(W, input) + b)
W和b都是张量，被称为该层的权重或可训练参数，分别对应kernel和bias属性。
一开始，这些权重矩阵取较小的随机值，这一步叫做随机初始化。由于W和b都是随机的，因此output肯定不会得到任何有用的表示，所以下一步是根据反馈信号调节权重，这个过程称为训练。

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如何调节网络中的权重系数呢？

• 计算损失相对于网络系数的梯度，向梯度的反方向改变系数，从而降低损失。

3.1 导数

1.斜率a是f在p点的导数：

• 如果a是负的，说明x在p点附近的微小变化导致f(x)减小；
• 如果a是正的，说明x在p点附近的微小变化导致f(x)增大；
• a的绝对值表示增大或减小的速度快慢

2.在神经网络中，目的是使得损失函数f(x)最小化，因此只需要将x沿着导数的反方向移动一小步。

3.2 梯度

1.梯度是张量运算的导数，它是导数这一概念向多元函数导数的推广。

2.f在W₀点的导数是一个张量gradient(f)(W₀)，其形状和W相同，每个系数gradient(f)(W₀)[i, j]表示改变W₀[i, j]时loss_value变化的方向和大小。gradient(f)(W₀)也可以看作表示f(W)在W₀附近曲率的张量。因此，可以通过将W向梯度的反方向移动来减小f(W)。

3.3 随机梯度下降

1.小批量随机梯度下降(mini-batch SGD)

• 抽取训练样本x和对应目标y组成的数据批量；
• 在样本上运行网络，得到预测值y_pred；
• 计算网络在这批数据上的损失，衡量y_pred和y之间的距离；
• 计算损失相对于网络参数的梯度（一次反向传播）；
• 将参数沿着梯度的反方向移动一点，使得这批数据的损失减少一点。

2.小批量SGD的变体

• 真SGD：每次迭代时只抽取一个样本和目标；
• 批量SGD：每次迭代时在所有数据上运行。
• 优化方法/优化器，包括带动量的SGD、Adagrad、RMSprop，它们在计算下一次权重更新的时候还要考虑上一次权重更新。
  其中，动量解决了SGD的两个问题：收敛速度和局部极小点。

3.4 链式求导：反向传播算法

反向传播，从最终损失值开始，从最顶层反向作用至最底层，利用链式法则计算每个参数对损失值的贡献大小。

4 本章小结

• 学习是指找到一组模型参数，使得在给定的训练数据样本和对应的目标值上的损失函数最小化；
• 学习的过程：随机选取包含数据样本及其目标值的批量，并计算批量损失相对于网络参数的梯度。随后将网络参数沿着梯度的反方向移动。
• 整个学习过程之所有能够实现，是因为神经网络是一系列可微分的张量计算，因此利用求导的链式法则来得到梯度函数，这个函数将当前参数和当前数据批量映射为一个梯度值。
• 损失是在训练过程中需要最小化的量，能够衡量当前任务是否已经成功解决。
• 优化器是使用损失梯度更新参数的具体方法。