矩阵条件数的定义、理解以及matlab代码

1.矩阵条件数的定义

$\mathrm{cond}(A)=\Vert A\Vert \bullet \Vert A^{-1}\Vert$,
其中$\Vert \cdot \Vert$代表的是矩阵范数,那么什么是矩阵范数呢

1.1 矩阵范数的定义

矩阵范数需要满足以下三点要求
a.正定性 ||A||≥0，only when A为0矩阵，||A|| = 0
b.齐次性
||aA||=|a| ||A||;
c.三角不等式
||A+B||<= ||A|| + ||B||
如果除了满足上面三点要求外，还满足第四点要求，则称为服从乘法范数（sub-multiplicative norm）
d.相容性
AB||<=||A|| ||B||.

1.2 矩阵范数举例

这里举矩阵二范数的例子：
矩阵A的2范数就是 A的转置乘以A矩阵的结果的特征根最大值的开根号；
下面是matlab代码求证

a=[ 1 3 4;2 5 6;7 9 8];
[x,y] = eig(a'*a); % a' 为矩阵a的转置，x为a'*a的特征向量，y的对角为向量的各个特征值
ans1 = sqrt(max(diag(y))) % 求a'*a的最大特征根的开跟
ans2 = norm(a,2) % 直接使用matlab内置的函数去求矩阵a的二范数
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2 矩阵条件数的意义

条件数可以判断线性方程AX=b时，b的变化对解X的影响。如果b微小变化或者不变化，但是X却变化很大。条件数小，则该线性问题是良态的；如果条件数很大则说明该问题是病态的。

3.矩阵条件数matlab代码

a=[ 1 3 4;2 5 6;7 9 8];
ans1 = cond(a)
ans2 = norm(a)*norm(inv(a))
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总结：
以上是对条件数和矩阵范数的一些理解和代码验证~