代码随想录 | Day 45 - LeetCode 70. 爬楼梯 （进阶）、LeetCode 322. 零钱兑换、LeetCode 279.完全平方数

        今天题目是完全背包的应用。第1题回顾了前面的爬楼梯问题，用完全背包的思想解决。所以至此，这一题用斐波那契方法，和完全背包方法都能解决“每次上升楼梯数为[1, m]”的问题。后两道题都是求最小物品数。一方面由最大转向了了最小，另一方面由价值转向了物品数。两方面都有一些值得注意的地方。

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第1题（LeetCode 70. 爬楼梯 （进阶））

        是day 38中的第2题，当时用了斐波那契数列的解法。也可以将其看作完全背包问题，背包容量对应总台阶数，物品对应每次能上的台阶数。比如在该问题中物品数共2件，第一件物品的重量和价值都是1，第二件物品的重量和价值都是2。具体的背包问题跟day 44中的第3题（LeetCode 377. 组合总和 Ⅳ）一样，是求排列数量。所以按照dp[j] += dp[j - weight[i]]的状态转移方程，dp[0] = 1作为初始化，外层循环遍历背包、内层循环遍历物品且均正向遍历的方式就能得到结果。

class Solution {
public:
    int climbStairs(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[0] = 1;
        for (int j = 1; j <= n; ++j) {
            for (int i = 1; i <= 2; i++) {
                if (j >= i) {
                    dp[j] += dp[j - i];
                }
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

        而如果每次能上的台阶数不只是1或2，而是1~m都可以的话，只需要把第7行中的改为m。

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第2题（LeetCode 322. 零钱兑换）

        与day 44的第1题（SP OJ. Piggy-Bank）很相似，都是完全背包背景下求最小值的问题，但后者是求所装物品的最小价值，这一题却是求物品的最小个数。将dp[j]定义为装满容量j的背包，所需要的最少物品数。仔细思考完全背包的状态转移方程，对于当前物品，只有多装一件或不装这两种选择。如果多装一件，那么物品件数就相对于dp[j - weight[i]]加1；如果不装，物品件数就保持dp[j]不变。要使物品件数尽可能地小，就需要在两者中取较小值。所以状态转移方程就是dp[j] = min(dp[j], dp[j - weight[i]] + 1)。

        初始化方面，由于装满容量为0的背包所需物品数为0，所以设置dp[0]为0。而又因为要取最小值，所以将其他位置初始化为一个较大数。 与day 44的第1题（SP OJ. Piggy-Bank）一样，不能直接设置为INT_MAX，否则可能导致溢出。遍历顺序上与基本的完全背包问题保持一致。最后判断下dp的最后一个值，如果没有被更新，说明无法装满该容量的背包，否则就返回最小数量。

class Solution {
public:
    int coinChange(vector<int>& coins, int amount) {
        vector<int> dp(amount + 1, INT_MAX / 10);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < coins.size(); ++i) {
            for (int j = coins[i]; j <= amount; ++j) {
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - coins[i]] + 1);
            }
        }
        if (dp[amount] == INT_MAX / 10) {
            return -1;
        }
        return dp[amount];
    }
};

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第3题（LeetCode 279.完全平方数）

        经过问题转化后又是与上一题基本一样的。完全平方数就是物品，其重量就是自身大小，背包大小为n。与上一题一样，需要求装满背包所需物品的最小数量。所以只需要初始化好物品数组即可，将不大于n的平方数都放入背包中。然后按照上一题的方式求解即可。

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> nums;
        int i = 1;
        while (i * i <= n) {
            nums.push_back(i * i);
            ++i;
        }
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX / 10);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 0; i < nums.size(); ++i) {
            for (int j = nums[i]; j <= n; ++j) {
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - nums[i]] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

        而题解在实现上并没有建立存储平方数的数组，而是在DP循环时才计算平方数。这种实现更省空间。

class Solution {
public:
    int numSquares(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, INT_MAX / 10);
        dp[0] = 0;
        for (int i = 1; i * i <= n; ++i) {
            for (int j = i * i; j <= n; ++j) {
                dp[j] = min(dp[j], dp[j - i * i] + 1);
            }
        }
        return dp[n];
    }
};