自动控制原理 - 3 线性系统的时域分析

 

3 线性系统的时域分析3.1 时间响应性能指标3.2 一阶系统的时域响应3.3-3.4 二阶系统的时域响应 3.5 二阶系统性能的改善3.6 高阶系统的时域响应3.7 控制系统的稳定性 3.8 稳定性的赫尔维茨判据 3.9 稳定性的劳斯判据3.10 控制系统的稳态性能分析

3 线性系统的时域分析

3.1 时间响应性能指标

控制系统研究步骤：建模；分析（动态性能，稳态性能，稳定性分析）；设计。

经典控制理论分析线性系统性能：时域分析，根轨迹法，频域分析法。不同方法有不同特点与适用范围。但时域分析在时间域内对系统进行分析，提供系统时间响应全部信息，直观准确。

控制系统性能：即系统对输入信号的时间响应来体现。评价指标分为动态性能指标和稳态性能指标。

典型的输入信号：

时域分析法：直接在时间域内，研究在典型系统输入信号作用下其输出响应随时间变化规律的方法。

动态过程与稳态过程：

动态性能指标：即在系统稳定工作的前提下，系统在零初始条件下，在单位阶跃信号的作用下，动态过程随时间变化的指标

例如图示：

稳态性能指标：表征系统控制准确性，一般用稳态误差或误差系数来描述。

3.2 一阶系统的时域响应

什么是一阶系统？

以下分析一阶系统（惯性环节）在不同信号作用下的系统输出响应。前提是假定系统初始条件为0。

一阶系统单位阶跃响应：

时间常数T：反应系统的惯性，影响着系统的性能指标，一阶系统惯性越小，T越小，系统响应过程越快，反之惯性越大，T大，响应慢。

单位脉冲响应的一阶系统响应：

单位斜坡响应的一阶系统响应：

因此就研究单位阶跃响应，对他进行不断积分，就可以跌倒另外三种信号的响应，反之求导。

3.3-3.4 二阶系统的时域响应

在控制系统领域中，二阶系统应用极为普遍，在分析与设计系统时候，经常把二阶系统的响应特性当做基准，并且高阶系统经常降到二阶，因此二阶系统动态响应分析很重要。

二阶系统：由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。

典型二阶系统结构图：

其对应的闭环传递函数：

二阶系统的阶跃响应：

下面分别对二阶系统在ζ 属于不同取值范围时候根据极点的位置对单位阶跃响应讨论。

特别注意当ζ 较大时候，极点S2比S1距离虚轴远的多，因此S2对应的响应分量比S1响应分量衰减快的多，可以忽略不计，S1的响应分量起主导作用，二阶系统可以作为一阶系统处理。

零初始条件下的系统响应分量仍然有1,因此和上面分析一样没有稳态误差，输出响应为正弦衰减信号。

二阶系统在ζ 取不同值时会有不同的单位阶跃响应

有了上面分析就可以定量的评价二阶系统的控制质量。除去严格不能有超调的系统外，这里性能指标是针对二阶欠阻尼系统。

分别讨论不同的性能指标与ζ ωn 的关系是怎样的。

超调量完全与Wn无关，只是与阻尼比有关。若想要减小超调量必须加大阻尼比。

因此在设计二阶系统时候，必须选取正确的阻尼比和无阻尼自震频率。

例题：欠阻尼情况下动态性能分析，其他情况下能否套用欠阻尼公式分析动态性能呢？

3.5 二阶系统性能的改善

通过调节二阶系统的两个参数即阻尼比与Wn,可以改善系统的动态性能。

介绍在二阶系统中常用的改善二级系统性能的方法：速度反馈控制与比例微分控制。

速度反馈控制：

比例微分控制：

除去上面两种改善二级系统的性能指标方法，其实还有很多其他实际的改善方法。

3.6 高阶系统的时域响应

控制系统中大多数微分方程高于二阶的高阶系统。理论上，高阶系统可以通过其传递函数求出器时域响应，按照之前介绍的一阶或者二阶系统的分析方法来确定系统的动态性能指标。但是高阶系统的计算比较复杂，在工程问题中过分讲究精确是不必要的。因此通常把高阶降阶。下面介绍研究高阶系统性能的基本思路与分析方法。

基于主导极点的高阶系统二阶化。

通过上面分析知道系统的零极点对系统的响应很重要，那么零极点对系统的响应和性能到底有着怎样的影响呢。

、

3.7 控制系统的稳定性

稳定：是对控制系统的基本要求，系统正常工作的首要条件。系统扰动因数有环境条件改变，系统参数变化，负载或能源的波动。稳定性分析是控制理论的重要分析之一。

稳定性判定依据：

3.8 稳定性的赫尔维茨判据

对于低阶系统可以通过求解特征方程根来判断其稳定性，如果高阶系统求根比较困难，不可取。此外，判断到特征根在负半平面就可以，无须判断特征根的具体值。因此在有提出在不需要求解特征方程情况下就可以判定根位置，即劳斯判据与赫尔判据。

这是必要条件，即使满足也不一定稳定，还需要进一步判断。

3.9 稳定性的劳斯判据

3.10 控制系统的稳态性能分析

稳态误差与众多的因素有关。

本节介绍不同结构系统在不同的典型信号输入作用下的稳态误差。