[图论] 6-1-1 网络最大流

网络流问题
(1) 概念：
网络流问题是图论中一类常见的问题， 应用在许多包含流量的系统中，同时也是求解其他一些图论问题的基础， 如求解图的顶点的连通度和边连通度、匹配问题等。

(2) 网流问题分类：

• 网络最大流
• 流量有上下界网络的最大流和最小流
• 最小费用最大流
• 流量有上下界网络的最小费用最大流
• …

6.1 网络最大流

6.1.1 基本概念

1. 网络流理论基础

最大流最小割定理构成网络流理论基础。该定理包含以下几个概念

• 网络最大流
• 增广路
• 残留网络
• 最小割

2. 容量网络和网络最大流

• a. 容量网络(capacity network)
  有向图$G(V,E)$中, 指定了源点$V_s$ 汇点$V_t$，每一条边上都有一个权值$c(u,v)>0$即弧的容量。

• b. 弧的容量
  容量网络G中任意一条弧上的权值。表示最大可以通过的流量。

• c. 弧的流量(Flow Rate)
  通过网络G中每条弧$<u,v>$上的实际流量(流量)， 记为$f(u,v)$。

• d. 网络流(Network Flow)
  所有弧上流量的集合 f = { f ( u , v ) } f=\{f(u,v)\} f={f(u,v)} , 称为容量网络G的一个网络流。 如图6.2 (b)所示， $u$代表容量， $v$代表弧上当前流量。

[!info]

1. 弧上流量小于弧的容量
2. 源$V_s$流出的流量等于流入汇点$V_t$ 的流量
3. 任意的中间顶点$V_i$ , 流入与流出的流量相等

• e. 可行流
  作为可行流需要满足，弧流量限制条件和平衡条件的流。对任何一个容量网络可行流总是存在的。

1. 弧流量限制
   $$0\le f(u,v)\le c(u,v)$$
   $f(u,v)$ : 弧 $⟨u,v⟩$ 的流量
2. 平衡条件
   $$\sum _{v}f(u,v)-\sum _{v}f(v,u)=\{\begin{array}{ll}|f|,& \text{当u=Vs}\\ 0,& \text{当u=Vs,Vt}\\ -|f|,& \text{当u=Vt}\end{array}$$
   ${\sum }_{v}f(u,v)$: 从顶点$u$流出的流量总和
   ${\sum }_v(v,u)$ : 流入顶点$u$的流量总和
   $f$ : 该可行流的流量，即源点的净流出流量，或汇点的净流入流量

• f. 零流(Zero Flow)
  网络图中，每条弧上的流量为0，该网络流被称为零流

• g. 伪流(Pseudoflow) 或容量可行流
  一个网络流只满足弧的容量限制条件，不满足平衡条件，这种网络流被称为伪流。或称为容量可行流。在预流推进算法中用到。

• h. 最大流(Maximum Flow)
  在容量网络$G(V,E)$中，满足弧流量限制条件和平衡条件，且具有最大流量的可行流，称为网络最大流，简称最大流。

3. 链与增广路

容量网络G根据弧上流量和容量的关系，可以将分为4中类型

• 饱和弧 : $f(u,v)=c(u,v)$
• 非饱和弧 : $f(u,v)<c(u,v)$
• 零流弧: $f(u,v)=0$
• 非零流弧 : $f(u,v)>0$

(1) 链

链： 容量网络图$G$中的，源$u$到汇$v$的顶点序列，如：$(u,u_1,u_2,\cdots ,u_n,v)$ 。 要求相邻的两个顶点之间有一条弧，如$⟨u,u1⟩或⟨u1,u⟩$为容量网络的一条弧。
各弧分类：

• 前向弧(P+): 弧的方向与链的正方向一致的弧
• 后向弧(P-): 弧的方向与链的正方向相反的弧
  

链 P 1 = { < V s , V 1 > , < V 1 , V 2 > , < V 2 , V 4 > , < V 4 , V t > } P1=\{, , ,\} P1={<Vs​,V1​>,<V1​,V2​>,<V2​,V4​>,<V4​,Vt​>}
前向弧： P 1 + = { < V s , V 1 > , < V 1 , V 2 > , < V 2 , V 4 > , < V 4 , V t > } P1+=\{,, ,\} P1+={<Vs​,V1​>,<V1​,V2​>,<V2​,V4​>,<V4​,Vt​>}
后向弧： P 1 − = { < V 2 , V 1 > } P1-=\{\} P1−={<V2​,V1​>}

• 同一条弧在不同的链中可能是前向弧也可能是后向弧
  链 P 2 = { < V s , V 2 > , < V 2 , V 1 > , < V 1 , V 3 > , < V 3 , V t > } P2=\{, , ,\} P2={<Vs​,V2​>,<V2​,V1​>,<V1​,V3​>,<V3​,Vt​>}
  如弧$<v_2,v_1>$在链P1中为后向弧，在链P2中为前向弧

(2) 增广路

概念

满足一下两个条件的链P，成为增广路(增广链，可改进路)：

• P+中每一条弧都是非饱和弧
  链P上的所有前向弧$<u,v>$上， $0\le f(u,v)<c(u,v)$
• P-中每一天弧都是非零流弧
  链P上的所有后向弧$<u,v>$上，$0<f(u,v)\le c(u,v)$

成为增广路的原因

增广的规则

4. 残留容量和残留网络

在残留网络中，从源点到汇点的任意一条简单路径都对应一条增广路。
路径上每条弧容量的最小值即为能够一次增广的最大流量。

5. 割与最小割

6.1.2 最大流最小割定理

• 网络流是最大流的判定定理：
  • 1. 增广路定理：
       设容量网络G(V, E)的一个可行流f, f为最大流的充要条件是在容量网络中不存在增广路。
  • 2. 最大流最小割定理：
       对容量网络G(V, E)， 其最大流的流量等于最小割的容量
       以上定理推算出一下四个等价结论：

1. f是容量网络的最大流
2. |f|等于容量网络最小割的容量
3. 容量网络中不存在增广路径
4. 残留网络G’中不存在从源点到汇点的路径

6.1.3 网络最大流求解

求容量网路的最大流有两大类算法：增广路算法(Augmenting Path Algorithm)和预流推进算法(Preflow-push Algorithm)

1. 增广路算法

• 思路：
  根据增广路定理，从任何一个可行流开始，沿着增广路对网络进行增广，直到网络不存在增广路为止。

• 关键：寻找增广路和改进网络流
  如何有效的找到增广路，并保证算法在有限次增广后一定终止。

• 基本流程

• 增广路算法分类：
  • 标号算法
  • 最短增广路算法
  • 连续最短增广路算法（Dinic算法）

2. 预流推进算法

预留推进算法是从一个预流(Pre-flow)出发对活跃顶点沿着允许弧进行流量增广，每次增广称为一次推进(Push).

• 推进过程中满足条件：
  满足流量限制条件
  一般不满足流量平衡条件
  是一个伪流

• 预流
  从每个顶点（除了$V_s和V_t$）流出的流量之和总是小于等于流入该顶点的流量之和，称这样的伪流为预流。

• 预留推进算法分类

  • 一般预流推进算法
  • 最高标号预流推进算法

6.1.4 增广路算法

1. 一般增广路算法–Ford-Fulkerson算法

Frod-Fulkerson算法寻找增广路和改进网络流的方法为标号法

• 标号法实例
  (1) 标号法求最大流的实例1— 初始流为零流
  (2) 标号法求最大流的实例2— 初始流为非零流

• 标号法运算过程
  (1) 标号过程
  标号分量：$<v_i,\alpha >$
  $v_i$: 该分量指明它的标号来源
  $\alpha$: 可改进量
  顶点分类：
  未标号顶点
  已标号，未检查邻接节点
  已标号，且已检查邻接顶点(即已经检查过它的所有邻接顶点，看是否能够标号)
  (2) 调整过程
  a. 采用“倒向追踪”法，以$\alpha$分量按照第一个分量向前推荐，改进每一条弧上的流量。如下：
  $$f(u,v)=\{\begin{array}{ll}f(u,v)+\alpha ,& \text{<u,v>∈P+}\\ f(u,v)-\alpha ,& \text{<u,v>∈P−}\\ f(u,v),& \text{<u,v>∈/P}\end{array}$$
  b. 调整后去掉所有标号，并对新的可行流进行重新标号过程和调整过程。

• 标号法程序实现
  (1) 图的定义格式：
  输入：顶点个数n, 弧数m
  每条弧的数据格式： u v c f (u: 起点 v:终点 c: 容量 f: 流量)， 顶点序号0开始
  存储格式：邻接矩阵

(2) 中间变量：
$flag[n]$: 顶点状态
-1： 未标记
0 ： 已标记，未检查
1： 已标记，已检查
$prev[n]$: 标号的第一个分量，标号来源节点
$alpha[n]$: 标号的第二个分量，改进量
$queue[n]$: 广度优先搜索使用的队列，qs和qe表示队头和队尾

(3) 标记策略： 广度优先搜索

• Ford-Fulkerson算法复杂度分析

2. 最短增广路算法

3. 连续最短增广路算法–Dinic算法