a r c s i n x + a r c c o s x = π 2 a r c t a n x + a r c c o t x = π 2 arcsin x+arccos x= \frac{\pi}{2} \\ arctan x+arccot x= \frac{\pi}{2} arcsinx+arccosx=2πarctanx+arccotx=2π
应用场景
就我个人经验而言，该公式使用得不多。但是它的证明却是有价值的。
公式说明
1.第一个公式成立的x的范围为[-1,1],而第二个则在实数域R上成立。
2.反三角函数中arctanx经常作为研究对象，其他的出现的少。
记忆方法
1.反正弦和反余弦互余，反正切和反余切互余。两个角互余，即加起来为90度。
2.推导记忆：
对公式一
不妨假设
f
(
x
)
=
a
r
c
s
i
n
x
+
a
r
c
c
o
s
x
,
(
a
r
c
s
i
n
x
)
′
=
1
1
−
x
2
,
(
a
r
c
c
o
s
x
)
′
=
1
−
1
−
x
2
则
f
(
x
)
′
=
0
,
因此
f
(
x
)
为常函数。
f
(
0
)
=
π
2
因此
f
(
x
)
=
arcsin
x
+
arccos
x
=
π
2
,
得证。
不妨假设f(x)=arcsinx+arccosx,\\ (arcsinx)^{'}=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}},(arccosx)^{'}=\frac{1}{-\sqrt{1-x^{2}}}\\ 则f(x)^{'}=0,因此f(x)为常函数。f(0)=\frac{\pi}{2} \\ 因此f(x)=\arcsin x+\arccos x= \frac{\pi}{2},得证。
不妨假设f(x)=arcsinx+arccosx,(arcsinx)′=1−x21,(arccosx)′=−1−x21则f(x)′=0,因此f(x)为常函数。f(0)=2π因此f(x)=arcsinx+arccosx=2π,得证。
对公式二
同理，假设
g
(
x
)
=
a
r
c
t
a
n
x
+
a
r
c
c
o
t
x
,
(
a
r
c
t
a
n
x
)
′
=
1
1
+
x
2
,
(
a
r
c
c
o
t
x
)
′
=
−
1
1
+
x
2
则
g
(
x
)
′
=
0
,
因此
g
(
x
)
为常函数。
g
(
0
)
=
π
2
因此
g
(
x
)
=
a
r
c
t
a
n
x
+
a
r
c
c
o
t
x
=
π
2
,
得证。
同理，假设g(x)=arctanx+arccot x,\\ (arctanx)^{'}=\frac{1}{{1+x^{2}}},(arccotx)^{'}=-\frac{1}{{1+x^{2}}}\\ 则g(x)^{'}=0,因此g(x)为常函数。g(0)=\frac{\pi}{2} \\ 因此g(x)=arctan x+arccot x= \frac{\pi}{2},得证。
同理，假设g(x)=arctanx+arccotx,(arctanx)′=1+x21,(arccotx)′=−1+x21则g(x)′=0,因此g(x)为常函数。g(0)=2π因此g(x)=arctanx+arccotx=2π,得证。
我更推荐第二种记忆方法。因为证明过程十分有意义。
首先，证明提供了一种证明一个函数为常函数的方法，即先证明导数为0，再代入一个特殊点(该点的值要容易求)，就可以说明一个函数为常函数。其次，证明中涉及了四个反三角函数的导数，它们都是后面微分学求导必须要记住的求导公式，经常用到。当然，这个公式本身使用的频率不是很高罢了。
回眸一笑
纳兰容若有句很有意思的诗：“只听新人笑，不见旧人哭”。我们可不能学了新的概念和公式，就忘了旧的呀！不信，我们来填个表吧。
| α \alpha α | 0 0 0 | π 6 \frac{\pi}{6} 6π | π 4 \frac{\pi}{4} 4π | π 3 \frac{\pi}{3} 3π | π 2 \frac{\pi}{2} 2π |
|---|---|---|---|---|---|
| sin α \alpha α | |||||
| cos α \alpha α | |||||
| tan α \alpha α |
如果了然于胸，就为今天的收获开心的笑一个！
如果忘了，就先别笑了，赶快去看前几天的文章，巩固一下吧！
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