高等数学（第七版）同济大学总习题九（前10题）个人解答

高等数学（第七版）同济大学总习题九（前10题）

$1. 在 “ 充分 ”“ 必要 ” 和 “ 充分必要 ” 三者中选择一个正确的填入下列空格内：$

$1) f(x, y)在点(x, y)可微分是f(x, y)在该点连续的____条件，f(x, y)在点(x, y)连续是f(x, y)在该点可微分的____条件； (2) z=f(x, y)在点(x, y)的偏导数∂z∂x及∂z∂y存在是f(x, y)在该点可微分的____条件，z=f(x, y)在点(x, y)可微分是函数在该点的偏导数∂z∂x及∂z∂y存在的____条件； (3) z=f(x, y)的偏导数∂z∂x及∂z∂y在点(x, y)存在且连续是f(x, y)在该点可微分的____条件； (4) 函数z=f(x, y)的两个二阶混合偏导数∂2z∂x∂y及∂2z∂y∂x在区域D内连续是这两个二阶混合偏导数在D内相等的____条件.$

解：

$(1) 充分，必要 (2) 必要，充分 (3) 充分 (4) 充分 .$

$2. 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：$

$设函数f(x, y)在点(0, 0)的某领域内有定义，且fx(0, 0)=3，fy(0, 0)=−1，则有( )： (A) dz|(0, 0)=3dx−dy (B) 曲面z=f(x, y)在点(0, 0, f(0, 0))的一个法向量为(3, −1, 1) (C) 曲线{z=f(x, y)，y=0在点(0, 0, f(0, 0))的一个切向量为(1, 0, 3) (D) 曲线{z=f(x, y)，y=0在点(0, 0, f(0, 0))的一个切向量为(3, 0, 1)$

解：

$函数偏导数存在不一定可微分，从而不能保证曲面存在切平面，所以 A 、 B 不对，取 x 为参数，曲线 x = x ， y = 0 ， z = f (x, 0) 在点 (0, 0, f (0, 0)) 处的一个切向量为 (1, 0, 3) ，选 C .$

$3. 求函数 f (x, y) = \frac{4 x - y ^{2}}{l n ( 1 - x ^{2} - y ^{2} )} 的定义域，并求 (x, y) \to (\frac{1}{2}, 0) lim f (x, y) .$

解：

$函数的定义域为 D = {(x, y) ∣ 0 < x^{2} + y^{2} < 1, y^{2} \leq 4 x} ，因为点 (\frac{1}{2}, 0) \in D ， f (x, y) 为初等函数，所以 (x, y) \to (\frac{1}{2}, 0) lim f (x, y) = f (\frac{1}{2}, 0) = \frac{2}{l n \frac{3}{4}} = \frac{2}{l n 3 - l n 4} .$

$4. 证明极限 (x, y) \to (0, 0) lim \frac{x y ^{2}}{x ^{2} + y ^{4}} 不存在 .$

解：

$取两条趋于 (0, 0) 的路径， c_{1} : x = 0 ， c_{2} : y^{2} = x ， ( x , y ) \to c _{1} ( x , y ) \to ( 0 , 0 ) lim f (x, y) = x = 0 ( x , y ) \to ( 0 , 0 ) lim \frac{x y ^{2}}{x ^{2} + y ^{4}} = 0 ， ( x , y ) \to c _{2} ( x , y ) \to ( 0 , 0 ) lim f (x, y) = y ^{2} = x ( x , y ) \to ( 0 , 0 ) lim \frac{x y ^{2}}{x ^{2} + y ^{4}} = x \to 0 lim \frac{x ^{2}}{x ^{2} + x ^{2}} = \frac{1}{2} ，因为 (x, y) 分别沿 c_{1} ， c_{2} 趋于 (0, 0) 时 f (x, y) 的极限不相等，所以 (x, y) \to (0, 0) lim \frac{x y ^{2}}{x ^{2} + y ^{4}} 不存在 .$

$5. 设 f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}} ， x^{2} + y^{2} \neq = 0 ， 0 ， x^{2} + y^{2} = 0. ，求 f_{x} (x, y) 及 f_{y} (x, y) .$

解：

$当 x^{2} + y^{2} \neq = 0 时， f_{x} (x, y) = \frac{\partial}{\partial x} (\frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}}) = \frac{2 x y ( x ^{2} + y ^{2} ) - x ^{2} y \cdot 2 x}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = \frac{2 x y ^{3}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} ， f_{y} (x, y) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{x ^{2} y}{x ^{2} + y ^{2}}) = \frac{x ^{2} ( x ^{2} + y ^{2} ) - x ^{2} y \cdot 2 y}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} = \frac{x ^{2} ( x ^{2} - y ^{2} )}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} ，当 x^{2} + y^{2} = 0 时， f_{x} (0, 0) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( 0 + Δ x , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{Δ x} = Δ x \to 0 lim \frac{0}{Δ x} = 0 ， f_{y} (0, 0) = Δ y \to 0 lim \frac{f ( 0 + Δ y , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{Δ y} = Δ y \to 0 lim \frac{0}{Δ y} = 0 ，所以， f_{x} (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{2 x y ^{3}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} ， x^{2} + y^{2} \neq = 0 ， 0 ， x^{2} + y^{2} = 0. ， f_{y} (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} ( x ^{2} - y ^{2} )}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}} ， x^{2} + y^{2} \neq = 0 ， 0 ， x^{2} + y^{2} = 0.$

$6. 求下列函数的一阶和二阶偏导数 :$

$(1) z = l n (x + y^{2}) ； (2) z = x^{y} .$

解：

$(1) \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{x + y ^{2}} ， \frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} = - \frac{1}{( x + y ^{2} ) ^{2}} ， \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{2 y}{x + y ^{2}} ， \frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}} = \frac{2 ( x + y ^{2} ) - 4 y ^{2}}{( x + y ^{2} ) ^{2}} = \frac{2 ( x - y ^{2} )}{( x + y ^{2} ) ^{2}} ， \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{1}{x + y ^{2}}) = - \frac{2 y}{( x + y ^{2} ) ^{2}} . (2) \frac{\partial z}{\partial x} = y x^{y - 1} ， \frac{\partial ^{2} z}{\partial x ^{2}} = y (y - 1) x^{y - 2} ， \frac{\partial z}{\partial y} = x^{y} l n x ， \frac{\partial ^{2} z}{\partial y ^{2}} = x^{y} l n^{2} x ， \frac{\partial ^{2} z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial y} (y x^{y - 1}) = x^{y - 1} + y \cdot x^{y - 1} l n x .$

$7. 求函数 z = \frac{x y}{x ^{2} - y ^{2}} 当 x = 2 ， y = 1 ， Δ x = 0.01 ， Δ y = 0.03 时的全增量和全微分 .$

解：

$Δ z = \frac{2.01 \cdot 1.03}{2.0 1 ^{2} - 1.0 3 ^{2}} - \frac{2}{3} = 0.03 ，因 \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{- ( y ^{3} + x ^{2} y )}{( x ^{2} - y ^{2} ) ^{2}} ， \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{x ^{3} + x y ^{2}}{( x ^{2} - y ^{2} ) ^{2}} ， \frac{\partial z}{\partial x} ∣ ∣_{(2, 1)} = - \frac{5}{9} ， \frac{\partial z}{\partial y} ∣ ∣_{(2, 1)} = \frac{10}{9} ，所以 d z ∣ ∣_{y = 1 , Δ y = 0.03 x = 2 , Δ x = 0.01} = \frac{\partial z}{\partial x} ∣ ∣_{(2, 1)} \cdot Δ x + \frac{\partial z}{\partial y} ∣ ∣_{(2, 1)} \cdot Δ y = 0.03.$

$8. 设 f (x, y) = ⎩ ⎨ ⎧ \frac{x ^{2} y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} ， x^{2} + y^{2} \neq = 0 ， 0 ， x^{2} + y^{2} = 0. 证明 : f (x, y) 在点 (0, 0) 处连续且偏导数存在，但不可微分 .$

解：

$因为 0 \leq \frac{x ^{2} y ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} \leq \frac{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{2}}{( x ^{2} + y ^{2} ) ^{\frac{3}{2}}} = x^{2} + y^{2} ， (x, y) \to (0, 0) lim x^{2} + y^{2} = 0 ，所以 (x, y) \to (0, 0) lim f (x, y) = 0 ，又因 f (0, 0) = 0 ，所以 (x, y) \to (0, 0) lim f (x, y) = f (0, 0) ，即 f (x, y) 在点 (0, 0) 处连续， f_{x} (0, 0) = Δ x \to 0 lim \frac{f ( 0 + Δ x , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{Δ x} = Δ x \to 0 lim \frac{0}{Δ x} = 0 ， f_{y} (0, 0) = Δ y \to 0 lim \frac{f ( 0 + Δ y , 0 ) - f ( 0 , 0 )}{Δ y} = Δ y \to 0 lim \frac{0}{Δ y} = 0 ， Δ z - [f_{x} (0, 0) Δ x + f_{y} (0, 0) Δ y] = \frac{( Δ x ) ^{2} \cdot ( Δ y ) ^{2}}{[( Δ x ) ^{2} + ( Δ y ) ^{2} ] ^{\frac{3}{2}}} ， Δ y = Δ x Δ x \to 0 lim \frac{\frac{( Δ x ) ^{2} \cdot ( Δ y ) ^{2}}{[( Δ x ) ^{2} + ( Δ y ) ^{2} ] ^{\frac{3}{2}}}}{ρ} = Δ x \to 0 lim \frac{( Δ x ) ^{4}}{[ 2 ( Δ x ) ^{2} ] ^{2}} = \frac{1}{4} \neq = 0 ，其中 ρ = (Δ x)^{2} + (Δ y)^{2} ，所以 f (x, y) 在点 (0, 0) 处偏导数存在，但不可微分 .$

$9. 设 u = x^{y} ，而 x = φ (t) ， y = ψ (t) 都是可微函数，求 \frac{d u}{d t} .$

解：

$\frac{d u}{d t} = \frac{\partial u}{\partial x} \frac{d x}{d t} + \frac{\partial u}{\partial y} \frac{d y}{d t} = y x^{y - 1} \cdot φ^{'} (t) + x^{y} l n x \cdot ψ^{'} (t) .$

$10. 设 z = f (u, v, w) 具有连续偏导数，而 u = η - ζ ， v = ζ - ξ ， w = ξ - η ，求 \frac{\partial z}{\partial ξ} ， \frac{\partial z}{\partial η} ， \frac{\partial z}{\partial ζ} .$

解：

$\frac{\partial z}{\partial ξ} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial ξ} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial ξ} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial ξ} = - \frac{\partial z}{\partial v} + \frac{\partial z}{\partial w} ， \frac{\partial z}{\partial η} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial η} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial η} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial η} = \frac{\partial z}{\partial u} - \frac{\partial z}{\partial w} ， \frac{\partial z}{\partial ζ} = \frac{\partial z}{\partial u} \cdot \frac{\partial u}{\partial ζ} + \frac{\partial z}{\partial v} \cdot \frac{\partial v}{\partial ζ} + \frac{\partial z}{\partial w} \cdot \frac{\partial w}{\partial ζ} = - \frac{\partial z}{\partial u} + \frac{\partial z}{\partial v} .$

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原文地址：https://blog.csdn.net/navicheung/article/details/127663252

高等数学（第七版）同济大学 总习题九（前10题） 个人解答

高等数学（第七版）同济大学 总习题九（前10题）

解：

2. 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： 2. 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论： ​2. 下题中给出了四个结论，从中选出一个正确的结论：​​

解：

解：

4. 证明极限 lim ⁡ ( x , y ) → ( 0 , 0 ) x y 2 x 2 + y 4 不存在 . ​4. 证明极限(x, y)→(0, 0)lim​x2+y4xy2​不存在.​​

解：

5. 设 f ( x , y ) = { x 2 y x 2 + y 2 ， x 2 + y 2 ≠ 0 ， 0 ， x 2 + y 2 = 0. ，求 f x ( x , y ) 及 f y ( x , y ) . ​5. 设f(x, y)=⎩ ⎨ ⎧​x2+y2x2y​，x2+y2=0，0，x2+y2=0.​，求fx​(x, y)及fy​(x, y).​​

解：

6. 求下列函数的一阶和二阶偏导数 : ​6. 求下列函数的一阶和二阶偏导数:​​

解：

7. 求函数 z = x y x 2 − y 2 当 x = 2 ， y = 1 ， Δ x = 0.01 ， Δ y = 0.03 时的全增量和全微分 . ​7. 求函数z=x2−y2xy​当x=2，y=1，Δx=0.01，Δy=0.03时的全增量和全微分.​​

解：

解：

9. 设 u = x y ，而 x = φ ( t ) ， y = ψ ( t ) 都是可微函数，求 d u d t . ​9. 设u=xy，而x=φ(t)，y=ψ(t)都是可微函数，求dtdu​.​​

解：

10. 设 z = f ( u , v , w ) 具有连续偏导数，而 u = η − ζ ， v = ζ − ξ ， w = ξ − η ，求 ∂ z ∂ ξ ， ∂ z ∂ η ， ∂ z ∂ ζ . ​10. 设z=f(u, v, w)具有连续偏导数，而u=η−ζ，v=ζ−ξ，w=ξ−η，求∂ξ∂z​，∂η∂z​，∂ζ∂z​.​​

解：