• 应用统计-点估计法（1.矩估计 2.极大似然估计）

     样本源于总体，带有总体的特性．因此， 为了找到反映总体分布或反映总体特
    征的某个未知参数0，我们自然想到通过样本X_1,X_2,...,X构造某个统计量

    作为总体参数\theta的估计．相对于后面的区间估计而言，我们称这样的估计为参数的点估计， 而称由式给出的估计量为\theta的点估计量．若(x_1,x_2,..,x_n)为样本
    X_1,X_2,...,X的一个观测值，则称\widehat{\theta}(x_1,x_2,...,x_n)为\theta的点估计值．
    下面介绍求参数点估计的两种方法．

    1.矩估计法

     设X_1,X_2,...,X是来自总体X的样本，则由辛钦大数定律知，当总体的k阶原点矩EX^k 存在时，样本的K阶原点矩依概率收敛于总体k阶原点矩，即

     

     因此，我们自然用样本的k阶原点矩作为总体k阶原点矩的估计．

    设\theta_1,\theta_2,...,\theta_r是反映总体分布或总体特征的r个未知参数，则总体的前r阶原点矩（设都存在）就应该是\theta_1,\theta_2,...,\theta_r的函数．令它们为相应的总体原点矩，即得矩估计方程组

     解之得未知参数\theta_1,\theta_2,...,\theta_r的矩估计量

     这种求参数\theta_1,\theta_2,...,\theta_r估计法称为矩估计法．

     

     

    本题补足：哪个是是矩估计量 哪个是矩估计值，没有标明清楚 

     

    本题求的只是矩估计量 

     

     2.极大似然估计估计

    设总体X是离散型随机变量，其分布律为

     其中\theta_1,\theta_2,...,\theta_r是未知参数． 设X1 , X2, … ， 凡为来自总体X 的样本，
    x_1,x_2,...,x_n是一个样本观测值． 那么作为n维随机变量X_1,X_2,...,X_n在点
    x_1,x_2,...,x_n取值的概率（即n维随机变量X_1,X_2,...,X_n的联合分布律）为

     

     其中

    是\theta_1,\theta_2,...,\theta_r从的函数，称为样本的似然函数．极大似然估计法（也称最大似然估计
    法    ）的直观想法就是：既然x_1,x_2,...,x_n作为样本的一次观测值已经出现，根据实
    际推断原理，\theta_1,\theta_2,...,\theta_r的选取就应有利于样本的观测值x_1,x_2,...,x_n出现，即
    我们应当选取这样的\theta_1,\theta_2,...,\theta_r使样本X_1,X_2,...,X_n得样本观测值
    x_1,x_2,...,x_n的概率(2. 6)或似然函数(2. 7)达到最大．即

     这样得到的估计与样本观测值有关，记作

     

     称为参数的极大似然估计值．

     的最大值点． 故在一般情况下\widehat{\theta_1},\widehat{\theta_2},...,\widehat{\theta_r}可从下面取极值的必要条件（称为对数似然方程组）解出．

     

     若总体X是连续型随机变量，其分布密度为

     

     其中\theta_1,\theta_2,...,\theta_r是未知参数，则随机变量X_1,X_2,...,X_n在点(x_1,x_2,...,x_n处微元内取值的概率为

     综上所述，可得极大似然估计法的估计步骤：

     

     之后补充

     之后补充

     之后补充

     证明之后补充

     应用参数点估计的上述两种方法时，要注意它们的条件．矩估计法的优点是简便、直观．特别是对总体的均值与方差进行估计时，并不一定要知道总体服从什么分布，但总体的矩有时可能会不存在，故矩估计法不一定有解．而应用极大似然法时，必须知道总体分布的形式才能进行．但进一步的研究表明，极大似然估计的大

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/fuxun222/article/details/127663013