• AVL树简介

    文章目录

    前言

      前面我们学习了二叉搜索树，二叉搜索树虽可以缩短查找的效率，但如果数据有序或接近有序二叉搜索树将退化为单支树，查找元素相当
    于在顺序表中搜索元素，效率低下    。因此，两位俄罗斯的数学家Adelson-Velskii和Landis在1962年发明了AVL树来解决这个问题。

    一、AVL树是什么？

      当向二叉搜索树中插入新结点后，如果能保证每个结点的左右子树高度之差的绝对值不超过1(需要对树中的结点进行调整)，即可降低树的高度，从而减少平均搜索长度。

    一棵AVL树或者是空树，或者是具有以下性质的二叉搜索树：

    1. 它的左右子树都是AVL树
    2. 左右子树高度之差(简称平衡因子)的绝对值不超过1(-1/0/1)

    在这里插入图片描述
      如果一棵二叉搜索树是高度平衡的，它就是AVL树。如果它有N个结点，其高度可保持在 O(logN)，搜索时间复杂度O(logN)。

    二、AVL树节点的定义

    template<class T>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;//该节点的左孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _right;//该节点的右孩子
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;//该节点的父亲

	pair<K, V> _kv;
	int _bf;  // 平衡因子(高度差)

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

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    三、AVL树的插入

    1.关于平衡因子

      AVL树就是在二叉搜索树的基础上引入了平衡因子，因此AVL树也可以看成是二叉搜索树。那么AVL树的插入过程可以分为两步：

    1. 按照二叉搜索树的方式插入新节点
    2. 调整节点的平衡因子

    举个例子，我们现在在节点8的左边插入一个节点。
    在这里插入图片描述
    由于插入了节点，与其相关的节点的高度发生变化，需要更新平衡因子。
    在这里插入图片描述

    2.更新平衡因子的规则

    (下图尚未开始调节平衡因子，只提供parent、cur的位置)
    在这里插入图片描述
    1.新增在右，parent->bf++;
     新增在左，parent->bf–;
    2.更新后，如果parent->bf == 1 or -1,即左或者右子树的高度发生变化，
     需要继续向上更新。
    3.更新后，如果parent->bf == 0,即插入后左右子树的高度相等，
     不需要继续向上更新。
    4.更新后，如果parent->bf == 2 or -2，说明已经打破平衡，
     需要进行“旋转”处理。
    5.更新后，如果出现其他情况，说明插入的不是AVL树，
     需要检查之前的操作。

    3.图解

     我们对依次画图演示来覆盖这些情况。

    3.1例1

    首先，我们有这样一棵AVL树：
     在这里插入图片描述

     现在我们想要在parent节点的左子树插入一个结点，
     根据情况1，新增在左，parent的平衡因子自减1，即由1变为0

     parent的平衡因子为0，即左右子树高度一样，不需要继续向上更新。
    在这里插入图片描述
     平衡因子的更新就完成了。

    3.2例2

    首先，我们有这样一棵AVL树：
    在这里插入图片描述
     现在假如我们插入了节点9，
    在这里插入图片描述
     现在开始更新平衡因子，
    在这里插入图片描述
    注意看，更新后parent的值不为1 or -1，需要继续向上更新。

    我们让parent的父亲变为新的parent，parent变为新的cur
    在这里插入图片描述
     同样的道理，继续向上走，直到parent的bf终于等于0，更新完成。
    在这里插入图片描述

    4.实例代码：

    旋转操作的函数实现见后文。

    bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
	if (_root == nullptr)
	{
		_root = new Node(kv);
		return true;
	}

	Node* parent = nullptr;
	Node* cur = _root;
	while (cur)
	{
		if (cur->_kv.first < kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_right;
		}
		else if (cur->_kv.first > kv.first)
		{
			parent = cur;
			cur = cur->_left;
		}
		else
		{
			return false;
		}
	}

	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first < kv.first)
	{
		parent->_right = cur;
	}
	else
	{
		parent->_left = cur;
	}

	cur->_parent = parent;

	// 控制平衡
	// 1、更新平衡因子
	while (parent)
	{
		if (cur == parent->_right)
		{
			parent->_bf++;
		}
		else
		{
			parent->_bf--;
		}

		if (parent->_bf == 0)
		{
			break;
		}
		else if (abs(parent->_bf) == 1)
		{
			parent = parent->_parent;
			cur = cur->_parent;
		}
		else if (abs(parent->_bf) == 2)
		{
			// 说明parent所在子树已经不平衡了，需要旋转处理
			if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateL(parent);
			}
			else if ((parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1))
			{
				RotateR(parent);
			}
			else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
			{
				RotateLR(parent);
			}

			break;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}

	return true;
}

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    四、AVL树的旋转

      如果在一棵原本是平衡的AVL树中插入一个新节点，可能造成不平衡，此时必须调整树的结构，使之平衡化。根据节点插入位置的不同，AVL树的旋转分为四种：

    1. 左单旋
    2. 右单旋
    3. 先左单旋，后右单旋
    4. 先右单旋，后左单旋

    1.左单旋

    在这里插入图片描述
      上图在插入前，AVL树是平衡的，新节点插入到30的左子树(注意：此处不是左孩子)中，30左子树增加了一层，导致以60为根的二叉树不平衡，要让60平衡，只能将60左子树的高度减少一层，右子树增加一层，即将左子树往上提，这样60转下来，因为60比30大，只能将其放在30的右子树，而如果30有右子树，右子树根的值一定大于30，小于60，只能将其放在60的左子树，旋转完成后，更新节点的平衡因子即可。在旋转过程中，有以下几种情况需要考虑：

    1. 30节点的右孩子可能存在，也可能不存在
    2. 60可能是根节点，也可能是子树
      如果是根节点，旋转完成后，要更新根节点
      如果是子树，可能是某个节点的左子树，也可能是右子树
      在这里插入图片描述

    依照图，把各个节点连接起来，就变成6个指针的问题。

    void RotateL(Node* parent)
{
	Node* subR = parent->_right;
	Node* subRL = subR->_left;

	parent->_right = subRL;
	if (subRL)
		subRL->_parent = parent;

	Node* ppNode = parent->_parent;

	subR->_left = parent;
	parent->_parent = subR;

	if (_root == parent)
	{
		_root = subR;
		subR->_parent = nullptr;
	}
	else
	{
		if (ppNode->_left == parent)
		{
			ppNode->_left = subR;
		}
		else
		{
			ppNode->_right = subR;
		}

		subR->_parent = ppNode;
	}

	subR->_bf = parent->_bf = 0;
}


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    2.右单旋

      与左单旋类似。

    3.先左单旋，后右单旋

    在这里插入图片描述
    上图中，在b或者c处插入高度会从h-1变为h，引发双旋。
    我们可以复用前面的代码，然后更新平衡因子。
    在这里插入图片描述
    依照图，根据bf的值判断插入的位置(b或者c)，然后更新平衡因子。

    void RotateLR(Node* parent)
{
	Node* subL = parent->_left;
	Node* subLR = subL->_right;
	int bf = subLR->_bf;

	RotateL(parent->_left);
	RotateR(parent);

	subLR->_bf = 0;
	if (bf == 1)
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = -1;
	}
	else if (bf == -1)
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = 1;
	}
	else if (bf == 0)
	{
		parent->_bf = 0;
		subL->_bf = 0;
	}
	else
	{
		assert(false);
	}
}

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    4.先右单旋，后左单旋

    与前面的类似。

    五、AVL树的性能

      AVL树是一棵绝对平衡的二叉搜索树，其要求每个节点的左右子树高度差的绝对值都不超过1，这样可以保证查询时高效的时间复杂度
      但是如果要对AVL树做一些结构修改的操作，性能非常低下，比如：
    插入时要维护其绝对平衡，旋转的次数比较多，更差的是在删除时，有可能一直要让旋转持续到根的位置。
      因此：如果需要一种查询高效且有序的数据结构，而且数据的个数为静态的(即不会改变)，可以考虑AVL树，但一个结构经常修改，就不太适合。

    六、完整代码

    #pragma once

template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
	AVLTreeNode<K, V>* _left;
	AVLTreeNode<K, V>* _right;
	AVLTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;
	int _bf;  // balance factor

	AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		, _right(nullptr)
		, _parent(nullptr)
		, _kv(kv)
		, _bf(0)
	{}
};

template<class K, class V>
struct AVLTree
{
	typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
	bool Insert(const pair<K, V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first < kv.first)
		{
			parent->_right = cur;
		}
		else
		{
			parent->_left = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

		// 控制平衡
		// 1、更新平衡因子
		while (parent)
		{
			if (cur == parent->_right)
			{
				parent->_bf++;
			}
			else
			{
				parent->_bf--;
			}

			if (parent->_bf == 0)
			{
				break;
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 1)
			{
				parent = parent->_parent;
				cur = cur->_parent;
			}
			else if (abs(parent->_bf) == 2)
			{
				// 说明parent所在子树已经不平衡了，需要旋转处理
				if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateL(parent);
				}
				else if ((parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1))
				{
					RotateR(parent);
				}
				else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
				{
					RotateLR(parent);
				}

				break;
			}
			else
			{
				assert(false);
			}
		}

		return true;
	}

private:
	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subR->_left = parent;
		parent->_parent = subR;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == parent)
			{
				ppNode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subR;
			}

			subR->_parent = ppNode;
		}

		subR->_bf = parent->_bf = 0;
	}

	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
		{
			subLR->_parent = parent;
		}

		Node* ppNode = parent->_parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (_root == parent)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppNode->_left == _parent)
			{
				ppNode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppNode->_right = subL;
			}

			subL->_parent = ppNode;
		}

		subL->_bf = parent->_bf = 0;
	}

	void RotateLR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		int bf = subLR->_bf;

		RotateL(parent->_left);
		RotateR(parent);

		subLR->_bf = 0;
		if (bf == 1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = -1;
		}
		else if (bf == -1)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 1;
		}
		else if (bf == 0)
		{
			parent->_bf = 0;
			subL->_bf = 0;
		}
		else
		{
			assert(false);
		}
	}


private:
	Node* _root = nullptr;
};

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    总结

    以上就是今天要讲的内容辣。
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