896. 最长上升子序列 II 线性dp (优化版 nlogn 贪心+二分)

给定一个长度为 N 的数列，求数值严格单调递增的子序列的长度最长是多少。

输入格式

第一行包含整数 N。

第二行包含 N 个整数，表示完整序列。

输出格式

输出一个整数，表示最大长度。

数据范围

1≤N≤100000，
−109≤数列中的数≤109

输入样例：

7
3 1 2 1 8 5 6

输出样例：

4

 未优化前：下标设为从1 开始 a[1] = 3 , a [2 ]= 1 ...

f [ 5 ] = max( f [1 ] +1 , f [ 2 ] + 1 , f [ 3 ] + 1 , f [ 4 ] + 1 )  ；对应895. 最长上升子序列 线性dp

 优化：  3  1  2  1  8  5  6

 长度为1的子序列中，例如 {3} {1} 这两种情况，当我们在考虑后面的情况时，如果后面有一个数可以接到3的后面，那么它一定能接到1的后面，因为1 比3更小，我们求的是上升序列 。那么3就可有可无 ，以此类推，我们按长度分类，比如长度为1 的子序列，我们只需要存一个结尾最小的值，长度为2的子序列也是存一个结尾最小的值，更长的同理 。

因此，我们可以用数组q存储一下前面每种长度的上升子序列的结尾的最小值是多少。随着长度的增加，结尾的最小值是逐渐增大的，所以长度最长的子序列的结尾最小值是数组q中最大的。整个数组一定是严格单调递增的 。比如长度为5的子序列中第4个数字绝对是等于 长度为4的子序列 的结尾最小值（与上面的同一概念），而不是大于或等于它。

 例如：数组中 a[ i ] 需要接到子序列中，可以接到所有比自己小值的末尾，要想最长，那么就接到q中最大的小于自己的数。

```
#include
#include
using namespace std ;
const int N = 1e5+10 ;
 
int n , m ;
int a[N] ; // 存储每一个数
int q[N] ; // 所有不同长度的上升子序列的结尾最小值
 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ) scanf("%d",&a[i] );
    int len = 0 ; //当前的最大长度 即q中的元素个数
    q[0] = -1e9-10; // 为了表示数组中小于某一个数的元素一定存在 将q[0]设置为极小的数
    for(int i = 0 ; i < n ; i ++ ) {
        int l = 0 , r = len ;
        while( l < r){ //二分找出小于a[i]的最大的数
            int mid = l + r + 1 >> 1;
            if( q[mid] < a[i] ) l = mid ;
            else r = mid - 1;
        }
        q[r+1] = a[i] ;//更新q数组 子序列接上a[i]
        len = max( len , r + 1 );//取最长子序列的长度
    }
    printf("%d" , len);
    return 0;
}
```