矩阵分析与计算学习记录-矩阵特征值的估计与计算

本章重点内容：

特征值界的估计

盖尔圆定理/gerschgorin圆盘定理

特征值的隔离

幂迭代法与逆幂迭代法

QR算法：基本思想、Hessenberg矩阵的QR算法、带原点位移的QR算法

1 特征值界的估计

1.1 特征值的界估计的前提

1.2 Schur不等式

 特征值模的平方和小于每个元素模的平方和

 1.3 Hirsch定理

  

1.4 Bendixson定理

在估计实矩阵的特征值的虚部的界时，Bendixson定理的结果优于Hirsch定理 

1.5 定理4（特征值模的上下界估计）

 1.6 Browne定理

 1.7 Hadamard不等式

 2 盖尔圆定理/gerschgorin圆盘定理

2.1 定义

 特征值在两个或两个以上的盖尔圆构成的连通部分中的分布不一定是平均的。

2.2 性质

2.3  利用盖尔圆求每个特征值的范围

 2.4 计算特征值范围

2.5 判别矩阵奇异性

3 特征值的隔离

应用盖尔圆定理估计矩阵特征值时，往往希望盖尔圆只含有它的一个特征值，当  的若干个盖尔圆相交时，通常采用下面两种方法隔离它的特征值。

（1）结合  的列盖尔圆研究矩阵  的特征值分发情况。

（2）利用相似变换：选定给定的正数 ，并设对角矩阵 ，构造与  相似的矩阵 ：则  与  有相同的特征值。

适当选取正数 ，有可能使  的每一个盖尔圆包含  的一个特征值，选取正数  的一般原则是：

（1）欲使  的每  个盖尔圆缩小，可取 ，其余取为 ，此时  的其余盖尔圆适当放大（相对于  的同序号的盖尔圆而言）。

（2）反之，欲使  的每  个盖尔圆放大，可取 ，其余取为 ，此时 的其余盖尔圆适当缩小（相对于  的同序号的盖尔圆而言）。

PS：主对角线上元素相对的矩阵就不能用上述两种方法分类其特征时。

tips：Ostrowski定理

 4 幂迭代法和逆幂迭代法

4.1 幂迭代法

 4.2 逆幂迭代法

 

 5 QR算法

 5.1 QR算法的基本思想

理论依据：任意一个非奇异矩阵（满秩的方阵）A都可以分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，且当R对角元符号确定时，分解是唯一的。QR分解是一种迭代方法，迭代格式如下：
当Ak基本收敛到为上三角矩阵时，迭代完成，此时主对角元素就是特征值。

特别地：当A是对称阵的时候，Ak是对角阵Λ，Q=Qk-1Qk-2…Q1就是其正交特征向量矩,有QTAQ=Ak=Λ，即A正交对角化与Ak。

如何理解？我们看下图公式:

所以，QR迭代过程从数学的角度来想其实就是不断正交化的过程。

5.2 Hessenberg矩阵的QR算法

 

5.3 带原点位移的QR算法