数学问题-反射定律&折射定律的向量形式推导

作者：翟天保Steven
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说明

       近期项目中有光线反射和折射的相关知识点，涉及到其向量形式，有些遗忘，因此进行了一轮公式推导工作，为了便于后期查看，整理在文章中。

       本文主要针对反射定律和折射定律的向量形式，进行公式推导，以加深记忆和理解。

反射定律

向量形式公式：

       假设A为入射光单位向量，B为反射光单位向量，N为法线单位向量，则有如下公式成立：

证明：

       假设是入射光在法线上的投影且方向向下，是反射光在法线上的投影且方向向上，是入射光在界面上的投影且方向向右，是反射光在界面上的投影且方向向右，是入射角，是反射角。

       根据反射定律知，入射角等于反射角，则有：

       又有：

       不难知道和相等，和方向相反数值相等，所以有：

       得证。

折射定律

向量形式公式：

       假设A为入射光单位向量，B为折射光单位向量，N为法线单位向量，n1是入射区的折射率，n2是折射区的折射率，则有如下公式成立：

证明：

       假设是入射光在法线上的投影且方向向下，是折射光在法线上的投影且方向向下，是入射光在界面上的投影且方向向右，是折射光在界面上的投影且方向向右，是入射角，是折射角。

       根据折射定律知，则有：

       考虑到A2和B2平行且方向一致，有：

       由勾股定理得：

       进而得：

       结合折射定律得出：

       代入得：

       合并得：

       又因为得：

       得证。

       以上就是反射定律&折射定律向量形式的公式推导过程。

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