已知n个城市之间的相互距离，现有一个推销员必须遍访这n个城市，并且每个城市
只能访问一次，最后又必须返回出发城市。如何安排他对这些城市的访问次序，可使其
旅行路线的总长度最短？
用图论的术语来说，假设有一个图g=(v,e)，其中v是顶点集，e是边集，设d=(dij)
是由顶点i和顶点j之间的距离所组成的距离矩阵，旅行商问题就是求出一条通过所有顶
点且每个顶点只通过一次的具有最短距离的回路。
这个问题可分为对称旅行商问题(dij=dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)和非对称旅行商
问题(dij≠dji,,任意i,j=1,2,3，…,n)。
若对于城市v={v1,v2,v3,…,vn}的一个访问顺序为t=(t1,t2,t3,…,ti,…,tn),其中
ti∈v(i=1,2,3,…,n)，且记tn+1= t1，则旅行商问题的数学模型为：
min l=σd(t(i),t(i+1)) （i=1,…,n）
旅行商问题是一个典型的组合优化问题，并且是一个np难问题，其可能的路径数目
与城市数目n是成指数型增长的，所以一般很难精确地求出其最优解，本文采用遗传算法
求其近似解。
遗传算法：
初始化过程：用v1,v2,v3,…,vn代表所选n个城市。定义整数pop-size作为染色体的个数
，并且随机产生pop-size个初始染色体，每个染色体为1到18的整数组成的随机序列。
适应度f的计算：对种群中的每个染色体vi，计算其适应度，f=σd(t(i),t(i+1)).
评价函数eval(vi)：用来对种群中的每个染色体vi设定一个概率，以使该染色体被选中
的可能性与其种群中其它染色体的适应性成比例，既通过轮盘赌，适应性强的染色体被
选择产生后台的机会要大，设alpha∈(0,1)，本文定义基于序的评价函数为eval(vi)=al
pha*(1-alpha).^(i-1) 。[随机规划与模糊规划]
选择过程：选择过程是以旋转赌轮pop-size次为基础，每次旋转都为新的种群选择一个
染色体。赌轮是按每个染色体的适应度进行选择染色体的。
step1 、对每个染色体vi,计算累计概率qi，q0=0;qi=σeval(vj) j=1,…,i;i=1,
…pop-size.
step2、从区间(0,pop-size)中产生一个随机数r；
step3、若qi-1 step4、重复step2和step3共pop-size次，这样可以得到pop-size个复制的染色体。
grefenstette编码：由于常规的交叉运算和变异运算会使种群中产生一些无实际意义的
染色体，本文采用grefenstette编码《遗传算法原理及应用》可以避免这种情况的出现
。所谓的grefenstette编码就是用所选队员在未选（不含淘汰）队员中的位置，如：
8 15 2 16 10 7 4 3 11 14 6 12 9 5 18 13 17 1
对应：
8 14 2 13 8 6 3 2 5 7 3 4 3 2 4 2 2 1。
交叉过程：本文采用常规单点交叉。为确定交叉操作的父代，从到pop-size重复以下过
程：从[0，1]中产生一个随机数r，如果r 将所选的父代两两组队，随机产生一个位置进行交叉，如：
8 14 2 13 8 6 3 2 5 7 3 4 3 2 4 2 2 1
6 12 3 5 6 8 5 6 3 1 8 5 6 3 3 2 1 1
交叉后为：
8 14 2 13 8 6 3 2 5 1 8 5 6 3 3 2 1 1
6 12 3 5 6 8 5 6 3 7 3 4 3 2 4 2 2 1
变异过程：本文采用均匀多点变异。类似交叉操作中选择父代的过程，在r 选择多个染色体vi作为父代。对每一个选择的父代，随机选择多个位置，使其在每位置
按均匀变异（该变异点xk的取值范围为[ukmin,ukmax],产生一个[0，1]中随机数r，该点
变异为x'k=ukmin+r(ukmax-ukmin)）操作。如：
8 14 2 13 8 6 3 2 5 7 3 4 3 2 4 2 2 1
变异后：
8 14 2 13 10 6 3 2 2 7 3 4 5 2 4 1 2 1
反grefenstette编码：交叉和变异都是在grefenstette编码之后进行的，为了循环操作
和返回最终结果，必须逆grefenstette编码过程，将编码恢复到自然编码。
循环操作：判断是否满足设定的带数xzome，否，则跳入适应度f的计算；是，结束遗传
操作，跳出。
matlab 代码
distTSP.txt
0 6 18 4 8
7 0 17 3 7
4 4 0 4 5
20 19 24 0 22
8 8 16 6 0
%GATSP.m
function gatsp1()
clear;
load distTSP.txt;
distance=distTSP;
N=5;
ngen=100;
ngpool=10;
%ngen=input('# of generations to evolve = ');
%ngpool=input('# of chromosoms in the gene pool = '); % size of genepool
gpool=zeros(ngpool,N+1); % gene pool
for i=1:ngpool, % intialize gene pool
gpool(i,:)=[1 randomize([2:N]')' 1];
for j=1:i-1
while gpool(i,:)==gpool(j,:)
gpool(i,:)=[1 randomize([2:N]')' 1];
end
end
end
costmin=100000;
tourmin=zeros(1,N);
cost=zeros(1,ngpool);
increase=1;resultincrease=1;
for i=1:ngpool,
cost(i)=sum(diag(distance(gpool(i,:)',rshift(gpool(i,:))')));
end
% record current best solution
[costmin,idx]=min(cost);
tourmin=gpool(idx,:);
disp([num2str(increase) 'minmum trip length = ' num2str(costmin)])
costminold2=200000;costminold1=150000;resultcost=100000;
tourminold2=zeros(1,N);
tourminold1=zeros(1,N);
resulttour=zeros(1,N);
while (abs(costminold2-costminold1) ;100)&(abs(costminold1-costmin) ;100)&(increase ;500)
costminold2=costminold1; tourminold2=tourminold1;
costminold1=costmin;tourminold1=tourmin;
increase=increase+1;
if resultcost>costmin
resultcost=costmin;
resulttour=tourmin;
resultincrease=increase-1;
end
for i=1:ngpool,
cost(i)=sum(diag(distance(gpool(i,:)',rshift(gpool(i,:))')));
end
% record current best solution
[costmin,idx]=min(cost);
tourmin=gpool(idx,:);
%==============
% copy gens in th gpool according to the probility ratio
% >1.1 copy twice
% >=0.9 copy once
% ;0.9 remove
[csort,ridx]=sort(cost);
% sort from small to big.
csum=sum(csort);
caverage=csum/ngpool;
cprobilities=caverage./csort;
copynumbers=0;removenumbers=0;
for i=1:ngpool,
if cprobilities(i) >1.1
copynumbers=copynumbers+1;
end
if cprobilities(i) <0.9
removenumbers=removenumbers+1;
end
end
copygpool=min(copynumbers,removenumbers);
for i=1:copygpool
for j=ngpool:-1:2*i+2 gpool(j,:)=gpool(j-1,:);
end
gpool(2*i+1,:)=gpool(i,:);
end
if copygpool==0
gpool(ngpool,:)=gpool(1,:);
end
%=========
%when genaration is more than 50,or the patterns in a couple are too close,do mutation
for i=1:ngpool/2
%
sameidx=[gpool(2*i-1,:)==gpool(2*i,:)];
diffidx=find(sameidx==0);
if length(diffidx)<=2
gpool(2*i,:)=[1 randomize([2:12]')' 1];
end
end
%===========
%cross gens in couples
for i=1:ngpool/2
[gpool(2*i-1,:),gpool(2*i,:)]=crossgens(gpool(2*i-1,:),gpool(2*i,:));
end
for i=1:ngpool,
cost(i)=sum(diag(distance(gpool(i,:)',rshift(gpool(i,:))')));
end
% record current best solution
[costmin,idx]=min(cost);
tourmin=gpool(idx,:);
disp([num2str(increase) 'minmum trip length = ' num2str(costmin)])
end
disp(['cost function evaluation: ' int2str(increase) ' times!'])
disp(['n:' int2str(resultincrease)])
disp(['minmum trip length = ' num2str(resultcost)])
disp('optimum tour = ')
disp(num2str(resulttour))
%====================================================
function B=randomize(A,rowcol)
% Usage: B=randomize(A,rowcol)
% randomize row orders or column orders of A matrix
% rowcol: if =0 or omitted, row order (default)
% if = 1, column order
rand('state',sum(100*clock))
if nargin == 1,
rowcol=0;
end
if rowcol==0,
[m,n]=size(A);
p=rand(m,1);
[p1,I]=sort(p);
B=A(I,:);
elseif rowcol==1,
Ap=A';
[m,n]=size(Ap);
p=rand(m,1);
[p1,I]=sort(p);
B=Ap(I,:)';
end
%=====================================================
function y=rshift(x,dir)
% Usage: y=rshift(x,dir)
% rotate x vector to right (down) by 1 if dir = 0 (default)
% or rotate x to left (up) by 1 if dir = 1
if nargin ;2, dir=0; end
[m,n]=size(x);
if m>1,
if n == 1,
col=1;
elseif n>1,
error('x must be a vector! break');
end % x is a column vectorelseif m == 1,
if n == 1, y=x;
return
elseif n>1,
col=0; % x is a row vector endend
if dir==1, % rotate left or up
if col==0, % row vector, rotate left
y = [x(2:n) x(1)];
elseif col==1,
y = [x(2:n); x(1)]; % rotate up
end
elseif dir==0, % default rotate right or down
if col==0,
y = [x(n) x(1:n-1)];
elseif col==1 % column vector
y = [x(n); x(1:n-1)];
end
end
%==================================================
function [L1,L2]=crossgens(X1,X2)
% Usage:[L1,L2]=crossgens(X1,X2)
s=randomize([2:12]')';
n1=min(s(1),s(11));n2=max(s(1),s(11));
X3=X1;X4=X2;
for i=n1:n2,
for j=1:13,
if X2(i)==X3(j),
X3(j)=0;
end
if X1(i)==X4(j), X4(j)=0;
end
end
end
j=13;k=13;
for i=12:-1:2,
if X3(i)~=0,
j=j-1;
t=X3(j);X3(j)=X3(i);X3(i)=t;
end
if X4(i)~=0,
k=k-1;
t=X4(k);X4(k)=X4(i);X4(i)=t;
end
end
for i=n1:n2
X3(2+i-n1)=X2(i);
X4(2+i-n1)=X1(i);
end
L1=X3;L2=X4;
%=======================