2022年CCPC桂林站C题Array Concatenation

题目：

题目链接：Array Concatenation

对一个数组b操作m次，每次有两种操作方法，长度都将变为原来的2倍

• b′={b1,b2,…,b|b|,b1,b2,…,b|b|}

• b′={b|b|,b|b−1|,…,b1,b1,b2,…,b|b|}.

求最后前缀和数组的所有元素和，对1e9+7取模后的最大值

(∑i=1n′∑j=1ibj)(mod1000000007).

2 1
1 2

15

样例解释：数组 1 2  变化1次为  1 2 1 2时，   前缀和的前缀和为：1+3+4+6=14

变化1次为  2 1 1 2时，   前缀和的前缀和为：2+3+4+6=15

最大为15

思路：

首先不考虑操作，最后是2^m个数组，把每个数组看做一个元素，只需要先知道这个元素只有正序数组或者逆序数组两种可能

比如数组为：1 7 2

2次后为：  1 7 2             1 7 2              1 7 2               1 7 2

前缀和为：1+8+10     +11+18+20     +21+28+30     +31+38+40

化简为：   (1+8+10)      3*10  (1+8+10)      3*10*2   +(1+8+10)      3*10*3  (1+8+10)

黑的是第一部分，就是n*（数组和）*（（数组最终数量）*（数组最终数量-1）/2）

（数组最终数量）=2^m

求第一部分和部分代码：

    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],a[i]=f(a[i]+a[i-1]);    //f()就是取模的，没有实质性运算
 
    int cnt=qpow(2,m);              //cnt是最终数组的数量
    int res=f(cnt*qpow(2,mod-2));              //res是cnt/2
 
    //以下几行就是：    int ans=n*a[n]*(cnt*(cnt-1)/2)，ans就是所有第一部分的和
    int ans=f(n*a[n]);
    ans=f(ans*cnt);
    ans=f(ans*f(cnt-1));
    ans=f(ans*qpow(2,mod-2));

第二部分就是2^m个数组的前缀和，只有正序和逆序的区别

就是：（正序的和）*（正序的数量）+（逆序的和）*（2^m-（正序的数量））

（正序的和）=1+8+10=19

（逆序的和）=2+9+10=21

---

下面就是看正序和逆序的数量的规律，其实正序要么是全部，要不一半是正序，一半是逆序

---

比如数组为：1 7 2

第一次为：

1 7 2     1 7 2

2 7 1     1 7 2

太乱了，下面用正序（0）逆序（1）显示

操作1就是复制前面的，0111->0111 0111

操作2就是后面是复制前面的，但前面部分取反后自己颠倒，0111->0001 0111

第0次:

0

第一次：

00

10

第二次：

0000

1100

1010

1010

第三次：

00000000

11110000

11001100

11001100

10101010

10101010

10101010

10101010

......

可以发现正的是全部，或者一半

代码：

#include
using namespace std;
#define int long long
#define M 1000005
const int mod=1e9+7;
int n,m,sum0=0,sum1=0;
int a[M],b[M];
int qpow(int a,int b)
{
    int ans=1;
    while(b){
        if(b&1)
            ans=ans*a%mod;
        a=a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return ans;
}
int f(int x){           //无情的取模函数
    return (x%mod+mod)%mod;
}
signed main()
{
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i],b[i]=a[i],a[i]=f(a[i]+a[i-1]),sum0=f(sum0+a[i]);          //sum0表示正序的前缀和，比如1 3 2的sum0=1+4+6=11
    for(int i=n;i>=1;i--) b[i]=f(b[i]+b[i+1]),sum1=f(sum1+b[i]);                  //sum1表示反序的前缀和，比如1 3 2的sum1=2+5+6=13
 
    int cnt=qpow(2,m);              //cnt是最终数组的数量
    int res=f(cnt*qpow(2,mod-2));              //res是cnt/2
 
    //以下几行就是：    int ans=n*a[n]*(cnt*(cnt-1)/2)，ans就是所有第一部分的和
    int ans=f(n*a[n]);
    ans=f(ans*cnt);
    ans=f(ans*f(cnt-1));
    ans=f(ans*qpow(2,mod-2));
 
    //正序的数组只有两种可能，1.全部都是（cnt个），2.一般（res个）
 
    cout<<max(f(ans+sum0*cnt),f(ans+sum0*res+sum1*res))<
    return 0;
}