线代小课整理

抽象行列式

1.行列式的性质
2. 矩阵的公式法则
3.特征值： 行列式=特征值的乘积

${\alpha }^T\beta ，\alpha {\beta }^T$

$$tr(\alpha {\beta }^T)={\beta }^T\alpha$$

• 乘法

• 列向量在前，行向量在后 为 阵 ($\alpha {\beta }^T,\alpha {\alpha }^T$)

• 行向量在前，列向量在后 为 数 (${\alpha }^T\beta ,{\alpha }^T\alpha$)

  • ${\alpha }^T\beta 是\alpha {\beta }^T矩阵的迹$(迹就是矩阵对角线之和，记作 tr(A))
  • $\alpha {\alpha }^T是对称矩阵$
  • ${\alpha }^T\alpha 是平方和，平方和一定大于等于0$

• $A^n$
  1.r(A)=1
  秒杀解法： $A^n=tr(A{)}^{n-1}A$
  2. [ 0 a b 0 0 c 0 0 0 ] 型

  [0ab00c000]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢000a00bc0⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}0& a& b\\ 0& 0& c\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
  型 ⎣⎡​000​a00​bc0​⎦⎤​型
  • 需要记忆的2个
    • [ 0 a b 0 0 c 0 0 0 ] 2 = [ 0 0 a ∗ c 0 0 0 0 0 0 ]
      [0ab00c000]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢000a00bc0⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}0& a& b\\ 0& 0& c\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
      ^2=
      [00a∗c000000]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢000000a∗c00⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}0& 0& a\ast c\\ 0& 0& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right]$$
      ⎣⎡​000​a00​bc0​⎦⎤​2=⎣⎡​000​000​a∗c00​⎦⎤​
    • [ 0 1 2 3 0 0 4 5 0 0 0 6 ] 3 = [ 0 0 0 24 0 0 0 0 0 0 0 0 ] ( 注 ： 1 ∗ 4 ∗ 6 )
      [012300450006]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢000100240356⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 2& 3\\ 0& 0& 4& 5\\ 0& 0& 0& 6\end{array}\right]$$
      ^3=
      [0002400000000]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢0000000002400⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 0& 24\\ 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right]$$
      (注：1*4*6) ⎣⎡​000​100​240​356​⎦⎤​3=⎣⎡​000​000​000​2400​⎦⎤​(注：1∗4∗6)

  3.一般：A~V（由于对角符打不出来，用V代替） , $A^n=p{V}^n{p}^{-1}$*(P:特征向量 V:特征值)
  [ a 1 a 2 a 3 ] n = [ a 1 n a 2 n a 3 n ]

  [a1a2a3]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_1& & \\ & a_2& \\ & & a_3\end{array}\right]$$
  ^n=
  [a1na2na3n]" role="presentation" style="position: relative;">⎡⎣⎢an1an2an3⎤⎦⎥$$\left[\begin{array}{ccc}{a}_1^n& & \\ & a_2^n& \\ & & a_3^n\end{array}\right]$$
  ⎣⎡​a1​​a2​​a3​​⎦⎤​n=⎣⎡​a1n​​a2n​​a3n​​⎦⎤​

初等矩阵，矩阵等阶

1, 初等矩阵的左乘右乘问题
2.逆矩阵公式

• 当A和B行等价时，A和B的行向量组等价

求矩阵A

线性表示，向量组等价

• I. 分清“矩阵等价”和“向量组等价”。
  • 矩阵等价：A矩阵经过初等变化可以变为B矩阵（充要条件是两秩相等）；
  • 向量组等价：两个向量组可以相互表出。
  • 另，向量组等价和矩阵等价并不一样，不能由某个等价推出另一个等价（见最后一道例题）；
• II.在相互表出的题目里面：用秩是最快的，注意两个结论：
  • 1、若向量组（I）可由向量组（II）表示，则（I）的秩<=（II）的秩（简记为“被表出的秩不大”）；
  • 2、若向量组（II）不可由向量组（I）表示，则（II）的秩>（I）的秩。
  • 如果对用秩解题没有这么熟练，那么就采用“双拼办法”，把两个向量组拼在一起经过行变换后讨论（这个办法有一个地方需要注意一下，用好了可以简化计算，比如先求出了一个向量组内的未知数，可以用已知向量组的极大线性无关组和剩下的向量组进行双拼，见例4。
  • 此外，对于一些题目还可以用行列式做，通过求算行列式配上克拉默法则，也可以快速确定第二个向量组的未知数。
• III.最后再简单提一句第一题里面爷爷提醒大家的求解一个向量由一组向量线性表出的题目，
  • 这种题目求解有两种方法，最好两个都能掌握，实在不行掌握第一个就行：
    • 1、化成行最简，特解+基础解系的办法来进行求解；
    • 2、找自由变量，赋值t、u、v等来进行求解。（法1对应爷爷习题一的方法1，法2对应爷爷习题一的方法2）友友们加油，日拱一卒，功不唐捐。

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极大线性无关组，向量组的秩

【框1】极大线性无关组的定义；

【框2-7】

1. （1）极大线性无关组的秩=极大线性无关组的向量个数；

2. （2）n个n维向量组线性相关<=>行列式=0；

3. （3）向量组线性相关<=>向量组的秩<列数；

4. （4）求具体矩阵极大线性无关组的步骤：

   1.把坐标竖过来，拼成一个矩阵；
   2.对该矩阵做“行变换”，化为行最简；
   3.单位矩阵所在列，即为极大线性无关组；
   4.其他向量表出时参考其在行最简中的系数。

【框8-12】

1. （1）极大线性无关组加入任一向量后向量组线性相关；
2. （2）贝塔不能由阿法向量组线性表出，即非齐次线性方程组无解；
3. 贝塔不能由阿法向量组线性表出,说明阿法向量组必线性相关
4. 阿法向量组线性无关，则阿法向量组必可表示任意一个向量

【框13-18】

1. （1）求贝塔列向量组的秩，即求矩阵B的秩；
2. （2）若A（mn）B（ns）=O，则r（A）+r（B）<=n；
3. （3）r（kA）=r（A）；
4. （4）若左矩阵A列满秩，即r（A）=A的列数，则r（AB）=r（B）；若右矩阵B行满秩，即r（B）=B的行数，则r（AB）=r（A）；

【框19-22】

5. （1）若［I］可由［II］线性表出，则r［I］<=r［II］；
6. （2）三秩相等：A的秩=A的列向量组的秩=A的行向量组的秩；

【框23-28】

解题关键：根据条件AB=0写出方程组，加减消元进行分析；

【框29-34】

1. （1）齐次线性方程组的基础解系的个数=n-r（A）；
2. （2）解题关键：根据条件Ax=0写出方程组，加减消元并结合反证法进行分析；

矩阵的秩

• 概念
  
  
• 求秩： 行变换，列变换都可以
• 秩的公式
  • 

• AB=0 →r(A)+r(B)≤n

特征值与特征向量

1. 不同特征值的特征向量线性无关
   • 3阶矩阵只有2个无关的特征向量→特征值必有重根
2. Aα = 入α,a ≠0
3. 实对称矩阵，不同特征值的特征向量是正交的
4. r(A-E)=2 → |A-E|=0 →入=1是A的特征值
5. |A|=0 → 入=0 是A的特征值
6. $(A^{\ast }{)}^{\ast }=|A{|}^{n-2}A$
7. 两个方程组的公共解：两个方程组联立的解 $(\frac{A}{B})$(只能进行行变换)
8. 若A的二重特征值 只有一个无关的特征向量 ，则A不能相似对角化

实对称矩阵 求特征值特征向量

1. 实对称矩阵一定和对角矩阵相似
2. 实对称矩阵，不同特征值的特征向量是正交的

对角化;矩阵相似的判断，证明

1. A与/\相似的两个充分条件
   1. A有三个不同的特征值
   2. A是实对称矩阵
   • 注意：只是充分条件:就是说如果满足上面的任一条件A就可以相似对角化，如果不满足也不能说明A不能相似对角化。
2. 若A能相似对角化，A的特征值有几重根 ，该特征值就有几个无关的特征向量。
3. 两个实对称矩阵相似 ←（充要条件）→ 特征值相同

$P^{-1}AP=$/\

1. $P^{-1}AP=$/\ （/\:A的特征值，P：A的特征向量）【不要写错位】
2. 不同特征值的特征向量相加减不再是矩阵的特征向量
3. 例 A是3阶，因A~/\，而入=6是二重特征值，故入=6必有2个线性无关的特征向量，因此秩r(6E-A)必为1。
4. $P^{-1}AP=B$，Bα=入α ，则A(Pα)=入(Pα)。

$求A^n，和A^n\beta$

1. 相似对角化
   

2. 秩一矩阵

   • 秒杀解法： $A^n=tr(A{)}^{n-1}A$

3. 分块矩阵的乘法
   
   

4. A=E+B

   • $A^n=(E+B{)}^n$，然后用二项式定理展开算。
     • 二项式定理：$（a+b{)}^n=C_n^0{a}^n{b}^0+C_n^1{a}^{n-1}{b}^1+C_n^2{a}^{n-2}{b}^2+...+C_n^n{a}^0{b}^n$

二次型的标准型$A{y}_1^2+B{y}_2^2+C{y}_3^2$

• 化标准型

  1. 正交变换法

     1. 有具体的A矩阵

        1. 写出二次型矩阵A

        2. |入E-A|→A的特征值→A的特征向量

        3. 对A的特征向量 正交化单位化。

           • 如果是互不相同的特征值，则特征向量互相正交，所以只需要单位化。
           • 正交矩阵的几何意义：正交矩阵的列向量都是单位向量，而且互相垂直。
           • 施密特正交化是可以回避掉的
             • 例如如图，写出a1后，直接凑个与a1内积为0的a2就可以了，不用施密特了。

        4. 正交化单位化的特征向量拼在一起变成矩阵Q， 有x=Qy

        5. $x^{T}Ax=(Qy{)}^{T}AQy=y^T{Q}^{T}AQy=y^T$/\$y$

           • 其中$Q^{T}AQ$=/\
     2. 没有具体的A矩阵
        • 实对称矩阵的特征值一定是实数。
          

  2. 配方法

     • 原则：第一次把x1都处理完

正惯性指数，负惯性指数

• 求惯性指数→通过标准型→看有几个正平方项，负平方项。

  • 怎么得到标准型？
    1. 通过特征值
    2. 配方法

• 两个矩阵合同${\fallingdotseq }_{充要条件}$正惯性指数相同，负惯性指数相同。

    * 对称矩阵要和对称矩阵合同 ，不对称矩阵要和不对称矩阵合同 
  1

  • 相似推出特征值相同从而推出合同，反之合同推不出相似

• 一些结论

  • r(A)=p+q（p：正惯性指数，q：负惯性指数）
    
    
    
    

二次型的规范形 A y 1 2 + B y 2 2 + C y 3 2 ， A , B , C ∈ { 1 , − 1 , 0 } Ay^2_1+By^2_2+Cy^2_3，A,B,C∈\{1,-1,0\} Ay12​+By22​+Cy32​，A,B,C∈{1,−1,0}

• 规范形：规范形首先是标准型$A{y}_1^2+B{y}_2^2+C{y}_3^2$,但是A，B，C只能有三种可能1，-1，0
• 求规范型：先得到 标准型 →再得到规范型。

• 虽然标准型不同，但规范形一样。（正负号决定规范形的形式）

正定二次型

• 正定的定义：f(x1,x2,x3)=$X^T(A^{T}A)X$＞0
  恰好$X^T(A^{T}A)X$=$(AX{)}^{T}AX$是内积，（因为内积${\beta }^T\beta \ge 0$）
• 判断二次型是否正定？
  1. 顺序主子式都＞0
  2. 特征值都大于0（正定的充要条件）
  3. 配方法 （p（正惯性指数）=n）
• 证明一个矩阵正定
  • 潜台词： 正定是对二次型讲的 二次型对应的矩阵是对称的
    • 所以首先要判断矩阵是否对称（$A=A^T$）