力扣刷题day34|62不同路径、63不同路径 II

62. 不同路径

力扣题目链接

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28
1
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示例 2：

输入：m = 3, n = 2
输出：3
解释：
从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
1. 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右
3. 向下 -> 向右 -> 向下
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7

示例 3：

输入：m = 7, n = 3
输出：28
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示例 4：

输入：m = 3, n = 3
输出：6
1
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思路

机器人从(0 , 0) 位置出发，到(m - 1, n - 1)终点。

动态规划五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i] [j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i] [j]条不同的路径。

2. 确定递推公式

因为上一步只能向右或者向下走到达这一步的位置，想要求dp[i] [j]，只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1] [j] 和 dp[i] [j - 1]。

而dp[i - 1] [j] 又表示从(0, 0)的位置到(i - 1, j)有几条路径

dp[i] [j - 1] 又表示从(0, 0)的位置到(i, j - 1)有几条路径

所以dp[i] [j] = dp[i - 1] [j] + dp[i] [j - 1]，因为dp[i][j]只有这两个方向过来。

3. dp数组的初始化

首先dp[i] [0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，那么dp[0] [j]也同理。

for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
1
2

4. 确定遍历顺序

这里要看一下递归公式dp[i] [j] = dp[i - 1] [j] + dp[i] [j - 1]，dp[i] [j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。

这样就可以保证推导dp[i] [j]的时候，dp[i - 1] [j] 和 dp[i] [j - 1]一定是有数值的。

5. 举例推导dp数组

完整代码

public int uniquePaths(int m, int n) {
    int[][] dp = new int[m][n];
    // 初始化
    for (int i = 0; i < m; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }
    for (int j = 0; j < n; j++) {
        dp[0][j] = 1;
    }

    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }

    return dp[m - 1][n - 1];
}
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63. 不同路径 II

力扣题目链接

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish”）。

现在考虑网格中有障碍物。那么从左上角到右下角将会有多少条不同的路径？

网格中的障碍物和空位置分别用 1 和 0 来表示。

示例 1：

输入：obstacleGrid = [[0,0,0],[0,1,0],[0,0,0]]
输出：2
解释：3x3 网格的正中间有一个障碍物。
从左上角到右下角一共有 2 条不同的路径：
1. 向右 -> 向右 -> 向下 -> 向下
2. 向下 -> 向下 -> 向右 -> 向右
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示例 2：

输入：obstacleGrid = [[0,1],[0,0]]
输出：1
1
2

思路

有障碍就表示没有路径能到这一点，即这一点dp[i] [j]为0。

动态规划五部曲

1. 确定dp数组以及下标的含义

dp[i] [j] ：表示从（0 ，0）出发，到(i, j) 有dp[i] [j]条不同的路径。

如果(0 ,0)就有障碍，那么一开始就走不下去

2. 确定递推公式

递推公式和62.不同路径一样，dp[i] [j] = dp[i - 1] [j] + dp[i] [j - 1]。

但这里需要注意一点，因为有了障碍（obstacleGrid为1），(i, j)如果就是障碍的话应该就保持初始状态（初始状态为0）

if (obstacleGrid[i][j] == 0) { // 当(i, j)没有障碍的时候，再推导dp[i][j]
    dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
}
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3. dp数组如何初始化

从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条，所以dp[i][0]一定为1，dp[0][j]也同理。

但如果(i, 0) 这条边有了障碍之后，障碍之后（包括障碍）都是走不到的位置了，所以障碍之后的dp[i][0]应该还是初始值0。

下标(0, j)的初始化情况同理。

// 初始化，碰到障碍后面就都去不了
for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) {
    dp[i][0] = 1;
}
for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) {
    dp[0][j] = 1;
}
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4. 确定遍历顺序

递归公式dp[i] [j] = dp[i - 1] [j] + dp[i] [j - 1]，dp[i] [j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。

这样就可以保证推导dp[i] [j]的时候，dp[i - 1] [j] 和 dp[i] [j - 1]一定是有数值的。

5. 举例推导dp数组

由示例1得

完整代码

public int uniquePathsWithObstacles(int[][] obstacleGrid) {
    int m = obstacleGrid.length;
    int n = obstacleGrid[0].length;
    int[][] dp = new int[m][n];

    //如果在起点或终点出现了障碍，直接返回0
    if (obstacleGrid[0][0] == 1 || obstacleGrid[m - 1][n - 1] == 1) {
        return 0;
    }

    // 初始化，碰到障碍后面就都去不了
    for (int i = 0; i < m && obstacleGrid[i][0] == 0; i++) {
        dp[i][0] = 1;
    }
    for (int j = 0; j < n && obstacleGrid[0][j] == 0; j++) {
        dp[0][j] = 1;
    }

    for (int i = 1; i < m; i++) {
        for (int j = 1; j < n; j++) {
            if (obstacleGrid[i][j] == 1) continue;
            dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1];
        }
    }
    return dp[m - 1][n - 1];
}
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