15-奇异值分解

导读：
奇异值分解singular value decomposition-SVD:是一种矩阵因子分解方法，是线性代数的概念。

• 本书中主成分分析，潜在语义分析都用到了奇异值分解。
• 奇异值分解可以看作是矩阵数据压缩的一种方法，即用因子分解的方式近似地表示原始矩阵，这种近似是在平方损失下的最优近似。

1-奇异值分解的定义与性质

1.1 定义

• 奇异值分解：将一个非零的$m\ast n$实矩阵$A，A\in R^{m\ast n}$，可以表示为以下三个实矩阵乘积运算，即进行矩阵的因子分解：
  $$A=U\Sigma V^T$$
• U是m阶正交矩阵(orthogonal matrix)
• V是n阶正交矩阵
• $\Sigma$是由降序排列的非负的对角线元素组成的$m\ast n$矩形对角矩阵(rectangular diagonal matrix)
  $$U{U}^T=I$$$$V{V}^T=I$$$$\Sigma =diag({\sigma }_1,{\sigma }_2,...{\sigma }_p)$$$${\sigma }_1\ge {\sigma }_2\ge ...{\sigma }_p\ge 0$$ $$p=min(m,n)$$
• ${\sigma }_i$称为矩阵A的奇异值
• $U$的列向量为左奇异向量
• $V$的列向量为右奇异向量
• 矩阵的奇异值分解不是唯一的

1.2 紧奇异值分解

上述的奇异值分解，$A=U\Sigma V^T$，称为矩阵的完全奇异值分解。紧奇异值分解是与原始矩阵等秩的奇异值分解

• 紧奇异值分解：有一$m\ast n$实矩阵$A$，其秩为$rank(A)=r,r\le min(m,n)$,则A的紧奇异值分解(compact singular value decomposition)为：
  $$A=U_r{\Sigma }_r{V}_r^T$$
• $U_r$是$m\ast r$阶矩阵，完全奇异值分解中$U$的前 $r$ 列
• $V_r$是$n\ast r$矩阵，完全奇异值分解中$V$的前 $r$ 列
• ${\Sigma }_r$ 是$\Sigma$ 的前 $r$ 个对角线元素得到
• 紧奇异值分解的对角矩阵${\Sigma }_r$的秩与原始矩阵$A$的秩相等

1.3 截断奇异值分解

截断奇异值分解：在矩阵的奇异值分解中，只取最大的 $k$ 个奇异值($k<r,r$为矩阵的秩)对应的部分。截断奇异值分解是比原始矩阵低秩的奇异值分解

• 截断奇异值分解：有一$m\ast n$实矩阵$A$，其秩为$rank(A)=r,0<k<r$,则A的截断奇异值分解(truncated singular value decomposition)为：
  $$A\approx U_k{\Sigma }_k{V}_k^T$$
• $U_k$是$m\ast k$阶矩阵，完全奇异值分解中$U$的前 $k$ 列
• $V_k$是$n\ast k$矩阵，完全奇异值分解中$V$的前 $k$ 列
• ${\Sigma }_k$ 是 $k$ 阶对角阵，$\Sigma$ 的前 $k$ 个对角线元素得到
• 截断奇异值分解的对角矩阵${\Sigma }_k$的秩与原始矩阵$A$的秩低

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• 在实际应用中，常常需要对矩阵的数据进行压缩，将其近似表示。奇异值分解是在平方损失（弗罗贝尼乌斯范数）意义下对矩阵的最优近似。
• 紧奇异值分解——无损压缩
• 截断奇异值分解——有损压缩

1.4 几何解释

• 从线性变换的角度来看，奇异值分解将$m\ast n$矩阵的$A$表示从$n$维空间$R^n$到$m$维空间$R^m$的一个线性变换，主要分为以下三个简单变换，且这种变换分解一定存在。
• 一个坐标系的旋转或反射变换：$V^T$
• 一个坐标轴的缩放变换：$\Sigma$
• 一个坐标系的旋转或反射变换：$U$
  

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奇异值分解的计算计算过程，可参考例15.5，计算量不大，推导就可以理解。

2-奇异值分解与矩阵近似

2.1 弗罗贝尼乌斯范数

• 奇异值分解也是一种矩阵近似的方法，这个近似是在弗罗贝尼乌斯范数（Frobenius norm）意义下的近似。
• 矩阵的弗罗贝尼乌斯范数是向量的L2范数的直接推广，对应着机器学习中的平方损失函数
• 弗罗贝尼乌斯范数： 设矩阵$A\in R^{m\ast n},A=[a_{ij}{]}_{mn}$，则范数为：
  $$\parallel A{\parallel }_F=(\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n(a_{ij}{)}^2{)}^{1/2}$$
• 引理15.1：假设矩阵$A\in R^{m\ast n}$,A的奇异值分解为$U\Sigma V^T$,其中$\Sigma =diag({\sigma }_1,{\sigma }_2,...{\sigma }_n)$,则：
  $$\parallel A{\parallel }_F=({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2+...+{\sigma }_n^2{)}^{1/2}$$

2.2 矩阵的最优近似

• 奇异值分解是在平方损失（弗罗贝尼乌斯范数）意义下对矩阵的最优近似，即数据压缩

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• 紧奇异值分解：是在弗罗贝尼乌斯范数意义下的无损压缩
• 截断奇异值分解：是有损压缩。截断奇异值分解得到的矩阵的秩为k，通常远小于原始矩阵的秩r，所以是由低秩矩阵实现了对原始矩阵的压缩

2.3 矩阵的外积展开

• 矩阵 $A$ 的奇异值分解 $U\Sigma V^T$ 可以由外积形式表示

  • 将 $A$的奇异值分解看成矩阵 $U\Sigma$ 和 $V^T$ 的乘积，将 $U\Sigma$按列向量分块，将$V^T$ 按行向量分块，得到：
    $$U\Sigma =[{\sigma }_1{u}_1,{\sigma }_2{u}_2,...{\sigma }_n{u}_n]$$ V T = [ v 1 T v 2 T . . . v n T ] V^T =
    [v1Tv2T...vnT]" role="presentation">⎡⎣⎢⎢⎢⎢vT1vT2...vTn⎤⎦⎥⎥⎥⎥$$\left[\begin{array}{c}{v}_1^T\\ v_2^T\\ ...\\ v_n^T\end{array}\right]$$
    VT=⎣ ⎡​v1T​v2T​...vnT​​⎦ ⎤​
    则：
    $$A={\sigma }_1{u}_1{v}_1^T+{\sigma }_2{u}_2{v}_2^T+...+{\sigma }_n{u}_n{v}_n^T$$
  • A为矩阵的外积展开
  • $u_k{v}_k^T$是$m\ast n$矩阵，是列向量$u_k$和行向量$v_k^T$的外积

• 设$A_{n-1}={\sigma }_1{u}_1{v}_{1}T+{\sigma }_2{u}_2{v}_2^T+...+{\sigma }_{n-1}{u}_{n-1}{v}_{n-1}^T$，则$rank(A_{n-1})=n-1$，且$A_{n-1}$是秩为$n-1$的矩阵在弗罗贝尼乌斯范数意义下 $A$ 的最优近似矩

一般的，设矩阵：$A_k={\sigma }_1{u}_1{v}_{1}T+{\sigma }_2{u}_2{v}_2^T+...+{\sigma }_k{u}_k{v}_k^T$，则$rank(A_k)=k$，且$A_k$是秩为$k$的矩阵在弗罗贝尼乌斯范数意义下 $A$ 的最优近似矩阵.
矩阵 $A_k$就是 $A$ 的截断奇异值分解。

• 通常由于奇异值 ${\sigma }_i$递减很快，所以 $k$ 取很小值时， $A_k$ 也可以对 $A$ 有很好的近似。