2022HBCPC 优美的字符串

优美的字符串

题目描述

我们称一个字符串是优美的，当且仅当这个字符串中不存在长度严格大于 2 的回文串。

现在有 m 种不同的字符，那么在可以组成的长度恰好为 n 的 m^n 个不同的字符串中，请求出一共有多少个字符串是优美的，输出答案对 1000000007 取模后的结果即可。

题目分析

字符串中不能存在严格大于2的回文串，则每相邻的三个字符都不能是回文串。三个字符非回文的情况有三aab abb abc。围绕此三种情况进行思考即可。

可以向动态规划的思想上靠拢（当时也没怎么往这边想）

定义集合f[i][3]:
f[i][0]:以i结尾，最后三个字符为 abc类的方案的集合
f[i][1]:以i结尾，最后三个字符为 aab类的方案的集合
f[i][2]:以i结尾，最后三个字符为 abb类的方案的集合
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根据三种状态的特点我们可以得到状态转移方程

f[i][0] = f[i - 1][1] * (m - 2) + f[i - 1][0] * (m - 2)
f[i][1] = f[i - 2][0] * (m - 2) 
f[i][2] = f[i - 1][0] + f[i - 1][1];
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值得注意的是，当n<3时的情况需要特判

• 当n == 1时，方案数为m
• 当n == 2时，方案数为 m + m * (m - 1) 即m * m
  • 类似aa bb 也为合法方案，即为第一个 m
  • 从m个数中任意选择两个，即为 m*(m-1)

值得注意的是取模一定要细心

code

#include

using namespace std;

const int N = 1e6 + 10, mod = 1000000007;
typedef long long ll;

ll n, m, k, t;
ll f[N][3];

int main()
{
    cin >> n >> m;

    if(n < 3)
    {
        if(n == 1) cout << m << "\n";
        else
        {
            ll ans = m * m % mod;
            cout << ans % mod << "\n";
        }
        return 0;
    }
   
    f[3][0] = m * (m - 1) % mod * (m - 2) % mod;
    f[3][1] = f[3][2] = m * (m - 1) % mod;

    for(int i = 4; i <= n; i ++)
    {
        f[i][0] = (f[i - 1][1] * (m - 2)) % mod + (f[i - 1][0] * (m - 2) % mod);
        f[i][1] = f[i - 1][2] * (m - 2) % mod;
        f[i][2] = (f[i - 1][0] % mod) + (f[i - 1][1] % mod) % mod;
    }

    cout << (f[n][0] + f[n][1] + f[n][2]) % mod << "\n";

    return 0;
}
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