弦截法及Python实现

目录

1 原理

2 弦截法的求解过程

3 弦截法的几何解释

3.1 定端点弦截法

3.2 变端点弦截法

4 案例&Python实现

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1 原理

弦截法是在牛顿法的基础上进行了改良。牛顿法迭代公式如下：

从迭代公式可以看出，牛顿迭代法的一个较强的要求是：f′(x)" role="presentation">f′(x)$f^{\prime }(x)$存在且不为0。弦截法的思想就是用弦斜率去近似代替f′(x)" role="presentation">f′(x)$f^{\prime }(x)$。

弦截法的迭代公式有两种：
① 定端点迭代法，用点(x0,f(x0))" role="presentation">(x0,f(x0))$(x_0,f(x_0))$和点(xn,f(xn))" role="presentation">(xn,f(xn))$(x_n,f(x_n))$连线的斜率 近似代替f′(x)" role="presentation">f′(x)$f^{\prime }(x)$ 。

xn+1=xn−xn−x0f(xn)−f(x0)f(xn)" role="presentation">xn+1=xn−xn−x0f(xn)−f(x0)f(xn)$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n-x_0}{f(x_n)-f(x_0)}f(x_n)$

② 变端点迭代法，又叫快速弦截法， 用点(xn,f(xn))" role="presentation">(xn,f(xn))$(x_n,f(x_n))$和点(xn+1,f(xn+1))" role="presentation">(xn+1,f(xn+1))$(x_{n+1},f(x_{n+1}))$连线的斜率 近似代替f′(x)" role="presentation">f′(x)$f^{\prime }(x)$ 。

xn+1=xn−xn−xn−1f(xn)−f(xn−1)f(xn)" role="presentation">xn+1=xn−xn−xn−1f(xn)−f(xn−1)f(xn)$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}f(x_n)$

弦截法和牛顿法的异同点：

2 弦截法的求解过程

① 求解迭代函数；

② 构造迭代公式（一般采用变端点弦截法）；

② 确定迭代初值；

③ 确定迭代终止条件。

3 弦截法的几何解释

3.1 定端点弦截法

迭代过程如下：

• 定端点为；
• 起始迭代点为；
• 连接P0、P1，两点的连线与x轴的交点的横坐标为；
• 更新迭代起始点为；
• 连接P0、P2，两点的连线与x轴的交点的横坐标为；
• ......
• 如此循环P0与Pn连线与x轴的交点会无限接近于真实解。

3.2 变端点弦截法

迭代过程如下：

• 起始迭代点有两个点和；
• 连接P0、P1，两点的连线与x轴的交点的横坐标为；
• 更新起始迭代点为和；

• 连接P1、P2，两点的连线与x轴的交点的横坐标为；

• ......

• 如此循环，Pn" role="presentation">Pn$P_n$与Pn+1" role="presentation">Pn+1$P_{n+1}$连线与x轴的交点会无限接近于真实解。

4 案例&Python实现

用快速弦截法求解方程x3−x−1=0" role="presentation">x3−x−1=0$x^3-x-1=0$的根，精度要求ε=10−9" role="presentation" style="position: relative;">ε=10−9$\epsilon ={10}^{-9}$。

输出近似解以及迭代次数。

程序流程：

Python代码：

#----弦截法求根-----#
import numpy as np
def f(x):
    y=x**3-x-1#求根方程的表达式
    return y
def main():
    x0=0;x1=np.pi/2 #取初值
    e=10**(-9) #误差要求
    N=10000 #迭代次数上限
    L=0 #初始化迭代次数
    while abs((f(x1)-0))>e: #采用残差来判断
        x2=x1-(x1-x0)/(f(x1)-f(x0))*f(x1) #迭代公式
        x0=x1
        x1=x2
        L=L+1 #统计迭代次数
        if L>N:
            print("超出迭代次数上限")
            break
    print(f"x2={x2}") #输出数值解
    print(f(x2)-0)  # 验证解的正确性
    print(f"L={L}") #输出迭代次数
if __name__ == '__main__':
   main()

运行结果：

x2=1.324717957244748
8.881784197001252e-15
L=9