原文地址：【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结2(一维随机变量及其分布)
F
(
x
)
=
P
{
X
≤
x
}
F(x)=P\{X\le x\}
F(x)=P{X≤x}
性质：
0
≤
F
(
x
)
≤
1
,
F
(
−
∞
)
=
0
,
F
(
+
∞
)
=
1
0\le F(x)\le 1,F(-\infty)=0,F(+\infty)=1
0≤F(x)≤1,F(−∞)=0,F(+∞)=1
P
{
X
=
x
0
}
=
P
{
X
≤
x
0
}
−
P
{
X
<
x
0
}
=
F
(
x
0
)
−
F
(
x
0
−
0
)
P{X=x0}=P{X≤x0}−P{X<x0}=F(x0)−F(x0−0)
P { X = x i } = p i , i = 1 , 2 , ⋯ P\{X=x_i\}=p_i,i=1,2,\cdots P{X=xi}=pi,i=1,2,⋯
F
(
x
)
=
∫
−
∞
x
f
(
t
)
d
t
F(x)=\int\limits_{-\infty}^xf(t)dt
F(x)=−∞∫xf(t)dt
性质：
| 分布名称 | 分布律/概率密度函数 |
|---|---|
| 0-1分布 b ( 1 , p ) \quad b(1,p) b(1,p) | P { X = k } = ( 1 − p ) 1 − k p k , k = 0 , 1 P\{X=k\}=(1-p)^{1-k}p^k, \quad k=0,1 P{X=k}=(1−p)1−kpk,k=0,1 |
| 二项分布 b ( n , p ) \quad b(n,p) b(n,p) | P { X = k } = C n k p k ( 1 − p ) n − k , k = 0 , 1 , ⋯ , n P\{X=k\}=C_n^kp^k(1-p)^{n-k},\quad k=0,1,\cdots ,n P{X=k}=Cnkpk(1−p)n−k,k=0,1,⋯,n |
| 几何分布 G ( n ) \quad G(n) G(n) | P { X = k } = ( 1 − p ) k − 1 p , k = 1 , ⋯ , n P\{X=k\}=(1-p)^{k-1}p, \quad k=1,\cdots ,n P{X=k}=(1−p)k−1p,k=1,⋯,n |
| 泊松分布 π ( λ ) \quad \pi(\lambda) π(λ) | P { X = k } = λ k k ! e − λ , k = 0 , 1 , ⋯ P\{X=k\}=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda},\quad k=0,1,\cdots P{X=k}=k!λke−λ,k=0,1,⋯ |
| 均匀分布 U ( a , b ) \quad U(a,b) U(a,b) |
f
(
x
)
=
{
1
b
−
a
,
a
<
x
<
b
0
,
o
t
h
e
r
s
f(x)=\Big\{1b−a,a<x<b0,others
f(x)={b−a10,a<x<b,others |
| 指数分布 E ( λ ) \quad E(\lambda) E(λ) |
f
(
x
)
=
{
λ
e
−
λ
x
,
x
≥
0
0
,
x
<
0
f(x)=\Big\{λe−λx,x≥00,x<0
f(x)={λe−λx0,x≥0,x<0 |
| 正态分布 N ( μ , σ 2 ) \quad N(\mu,\sigma^2) N(μ,σ2) |
f
(
x
)
=
1
2
π
σ
e
−
(
x
−
μ
)
2
2
σ
2
,
−
∞
<
x
<
+
∞
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}, \quad -\infty |
| 标准正态分布 N ( 0 , 1 ) \quad N(0, 1) N(0,1) |
f
(
x
)
=
1
2
π
e
−
x
2
2
,
−
∞
<
x
<
+
∞
f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}, \quad -\infty |
Φ
(
x
)
=
1
2
π
∫
−
∞
x
e
−
t
2
2
d
t
Φ
(
0
)
=
0.5
,
Φ
(
−
x
)
=
1
−
Φ
(
x
)
Φ(x)=1√2π∫x−∞e−t22dtΦ(0)=0.5,Φ(−x)=1−Φ(x)
求法：根据函数求出新的随机变量取值，将对应原随机变量的概率求和
求法：
先求 Y = g ( x ) Y=g(x) Y=g(x)的分布函数
F Y y = P { Y ≤ y } = P { g ( x ) ≤ y } = ∫ g ( x ) ≤ y f X ( x ) d x F_Y{y}=P\{Y\le y\}=P\{g(x)\le y\}=\int\limits_{g(x)\le y} f_X(x)dx FYy=P{Y≤y}=P{g(x)≤y}=g(x)≤y∫fX(x)dx
分布函数求导得到概率密度函数
f Y ( y ) = F ′ ( y ) f_Y(y)=F'(y) fY(y)=F′(y)