CSDN 编程竞赛第七期题解

总览

被多次通知了还是出来营业下（😛），比赛链接。

就体验而言：反作弊系统比一般笔试系统还严格些，评测系统比一般比赛系统还粗糙些，题库比较老旧且缺乏校对。

• 有很直观的经典题，但感觉是在考察经验积累和背诵能力，偏应试；
• 存在题目描述有歧义，存在数据范围模糊或与代码模板的数据类型不匹配；
• 评测机性能难以评估，导致难以通过数据范围对可行算法复杂度进行合理判断；
• 反作弊系统致使网页编辑器无法充分使用复制、剪切功能，调整、复制重复代码过多时只能手动重写；
• 写这篇文章时概率性打不开自己的考试报告（差点本文就没有代码了 😛）。

第六期的问题暂且略过，至少 bug 们没有都留到下一期。

题目分析

1. 奇偶排序

题意：把一个数组 $v$ 重排，使所有奇数在所有偶数的左边。数据范围似乎没说（当作 $|v|\le 10^5$ 好了），也没保证至少有一个奇数、一个偶数（😛）。

思路：

• 考虑罚时随便写写，只要是线性复杂度就不容易被卡。
• 有闲工夫的同学可以维护未处理的区间，每次看区间左端点元素是否要放到区间末尾，然后把此元素视为处理。

代码：C++

std::vector<int> solution(int n, std::vector<int>& vec){
    std::vector<int> result, even;
    for(int x: vec)
        if(x & 1) {
            result.push_back(x);
        } else {
            even.push_back(x);
        }
    result.insert(result.end(), even.begin(), even.end());
    return result;
}
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2. 小艺照镜子

题意：给一个字符串 $s$，求它的最长回文子串长度。数据范围 $|s|\le 10^4$，没保证字符串由非空白的可见字符构成（但代码模版只能处理非空白字符的情况 😛）

思路：

• 假设输入只有字母、数字，现场回忆 manacher 做了什么，凑凑系数对上就行 😛
• 找一个不包含在输入内的字符填充到 $s$ 的相邻字母间，得到新串 $t$，则 $s$ 长度奇数、偶数的回文子串均变成 $t$ 长度奇数的回文子串
• 从左到右计算以每个位置 $i$ 为中心的最长奇数回文子串的端点到中心距离 $h[i]$；在计算其值时，通过维护已经计算过的最右奇数回文子串给 $h[i]$ 赋一个合理的初值使得 $i+h[i]$ 总能不减即可做到线性

代码：C++

int solution(std::string s){
    int n = s.size(), m = n + n + 1;
    std::string t = "#";
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        t.push_back(s[i]);
        t.push_back('#');
    }
    int result = 0;
    std::vector<int> h(m);
    for(int i = 0, C = 0, R = 0; i < m; ++i) {
        h[i] = i < R ? std::min(h[C + C - i], R - i) : 0;
        for( ; i - h[i] >= 0 && i + h[i] < m && t[i - h[i]] == t[i + h[i]]; ++h[i]);
        if(i + h[i] > R) {
            C = i;
            R = i + h[i];
        }
        // printf("%c %d\n", t[i], h[i]);
        result = std::max(result, h[i] - 1);
    }
    return result;
}
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3. 交换后的or

题意：给两个长度为 $n$ 的二进制数 $A$ 和 $B$，选两个不同二进制位分别将 $A$ 和 $B$ 上对应值交换，得到 $A^{\prime }$ 和 $B^{\prime }$，问有多少种方式可以使得 $(A|B)\ne (A^{\prime }|B^{\prime })$，这里 $|$ 代表按位或。数据范围 $n\le 10^5$ 但没有保证答案可以用有符号 32 位整型数表示（😛）

思路：

• 答案只和被交换的两个二进制位 $i$ 和 $j$ 上分别对应 $A$ 和 $B$ 的数位是什么有关
• 对于一个二进制位，$A$ 和 $B$ 的数位最多有 4 种可能，当 $i$ 和 $j$ 对应同一种可能时一定对答案没有贡献
• 枚举这 $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{4}{2}\right)$ 种交换的可能，计算对答案的贡献即可

代码：C++

typedef long long LL;
LL solution(int n, std::string str1, std::string str2){
    std::vector<int> ctr(4);
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        int msk = (str1[i] == '1') << 1 | (str2[i] == '1');
        ++ctr[msk];
    }
    LL result = 0;
    for(int i = 0; i < 4; ++i)
        for(int j = i + 1; j < 4; ++j) {
            if((i >> 1) == (j >> 1))
                continue;
            int d0 = ((i >> 1) | (i & 1)) ^ ((j >> 1) | (i & 1));
            int d1 = ((j >> 1) | (j & 1)) ^ ((i >> 1) | (j & 1));
            if(d0 || d1)
                result += (LL)ctr[i] * ctr[j];
        }
    return result;
}
int main() {
    int n;
    std::string str1;
    std::string str2;
    std::cin>>n;
    std::cin>>str1;
    std::cin>>str2;
    LL result = solution(n, str1, str2);
    std::cout<<result<<std::endl;
    return 0;
}
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4. 去除整数

题意：给定整数 $n$, $m$, $a_1,a_2,\dots ,a_m$，统计满足 $1\le x\le n$, ${\forall }_{i=1,2,\dots ,m}{a}_i\nmid x$ 的正整数 $x$ 个数。数据范围 $1\le n,a_i\le 10^9$, $0\le m\le 10$

思路：

• 容斥原理经典题，随便对下系数就做完了，时间复杂度 $\mathcal{O}(2^m\log n)$，注意下最小公倍数超过有符号 32 位整型数的情况
• 令 [ c o n d ] = { 1 if cond is true 0 otherwise [\mathrm{cond}] =
  {1if cond is true0otherwise" role="presentation">{10if cond is trueotherwise$$\{\begin{array}{ll}1& \text{if cond is true}\\ 0& \text{otherwise}\end{array}$$
  [cond]={10​if cond is trueotherwise​，所求即

$$\begin{gathered} \sum _{x=1}^n\prod _{i=1}^m[a_i\nmid x] \\ =\sum _{x=1}^n\prod _{i=1}^m\left(1-[a_i|x]\right) \\ =\sum _{x=1}^n\sum _{T\subseteq S}\prod _{i\in T}\left(-[a_i|x]\right) \\ =\sum _{x=1}^n\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|}[{\mathrm{lcm}}_{i\in T}(a_i)|x] \\ =\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|}\sum _{x=1}^n[{\mathrm{lcm}}_{i\in T}(a_i)|x] \\ =\sum _{T\subseteq S}(-1{)}^{|T|}\lfloor \frac{n}{{\mathrm{lcm}}_{i\in T}(a_i)}\rfloor \end{gathered}$$

其中 S = { 1 , 2 , … , m } S = \{1, 2, \ldots, m\} S={1,2,…,m}，$\mathrm{lcm}$ 表示一组正整数的最小公倍数

代码：C++

int solution(int n, int m, std::vector<int>& vec){
    typedef long long LL;
    int result = 0;
    for(int i = 0; i < (1 << m); ++i) {
        int sgn = 1;
        LL lcm = 1;
        for(int j = 0; lcm <= n && j < m; ++j) {
            if((~i >> j) & 1)
                continue;
            sgn = -sgn;
            lcm = lcm / std::__gcd(lcm, (LL)vec[j]) * vec[j];
        }
        if(lcm <= n)
            result += sgn * (n / lcm);
    }
    return result;
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后续

别看了哪有下期啊。