【概率论与数理统计(研究生课程)】知识点总结6(抽样分布)

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统计量

样本均值：$\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i$

样本方差：$S^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2$

样本$k$阶原点矩：$A_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i^k$

样本$k$阶中心矩：$B_k=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^k$

$A_1=\bar{X}$

$B_2=\frac{n-1}{n}{S}^2=S_n^2⟹n{S}_n^2=(n-1)S^2=\sum _{i=1}^n{X}_i^2-n{\bar{X}}^2$

性质：

1. $E(\bar{X})=E(X),D(\bar{X})=\frac{D(X)}{n}$

2. $E(S^2)={\sigma }^2,E(S_n^2)=\frac{n-1}{n}{\sigma }^2$

经验分布函数：$F_n(x)=\frac{m(x)}{n}$, $m(x)$为样本小于$x$的个数。

次序统计量

顺序统计量：$X_{(1)}=\underset{1\le k\le n}{\min }{X}_k,X_{(n)}=\underset{1\le k\le n}{\max }{X}_k$

极差：$D_n=X_{(n)}-X_{(1)}$

密度函数

$$f_k(x)=\frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}(F(x){)}^{k-1}(1-F(x){)}^{n-k}f(x)$$

特别地：当$k=1$和$k=n$时，分别是$X_{(1)}$和$X_{(n)}$的密度函数：
$$f_1(x)=n(1-F(x){)}^{n-1}f(x),f_2(x)=n(F(x){)}^{n-1}f(x)$$

标准正态分布

$X\sim N(0,1)$

上$\alpha$分位点： P { X > Z α } = α , P { X ≤ Z α } = 1 − α P\{X>Z_\alpha\}=\alpha,P\{X\le Z_\alpha\}=1-\alpha P{X>Zα​}=α,P{X≤Zα​}=1−α

$\Phi (Z_{\alpha })=1-\alpha ,Z_{1-\alpha }=-Z_{\alpha }$

卡方分布

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$独立同标准正态分布，${\chi }^2=X_1^2+X_2^2+\cdots +X_n^2\sim {\chi }^2(n)$

${\chi }^2=\frac{1}{{\sigma }^2}\sum _{i=1}^n(X_i-\mu {)}^2\sim {\chi }^2$

$X_1\sim {\chi }^2(n_1),X_2\sim {\chi }^2(n_2)$,则$X_1+X_2\sim {\chi }^2(n_1+n_2)$

${\chi }^2$分位点： P { χ 2 > χ α 2 ( n ) } = α P\{\chi^2>\chi^2_\alpha(n)\}=\alpha P{χ2>χα2​(n)}=α

t分布

$X\sim N(0,1),Y\sim {\chi }^2(n)$, 且$X、Y$相互独立，则：
$$T=\frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$$
分位点： P { t > t α ( n ) } = α P\{t>t_\alpha(n)\}=\alpha P{t>tα​(n)}=α

当$n>45$时，$t_{\alpha }(n)\approx Z_{\alpha }$

F分布

$X\sim {\chi }^2(n),Y\sim {\chi }^2(m)$，且$X、Y$相互独立，则：
$$\begin{array}{r}F=\frac{X/n}{Y/m}\sim F(n,m)\\ \frac{1}{F}\sim F(m,n)\end{array}$$
分位点： P { F > F α ( n 1 , n 2 ) } = α P\{F>F_\alpha(n_1, n_2) \}=\alpha P{F>Fα​(n1​,n2​)}=α
$$F_{1-\alpha }(n_1,n_2)=\frac{1}{F_{\alpha }(n_2,n_1)}$$

随机向量

$\eta =({\eta }_1,{\eta }_2,\cdots ,{\eta }_n{)}^{\prime },X=(X_1,X_2,\cdots ,X_n{)}^{\prime }$

$\eta =AX,A=(a_{ij}{)}_{n\times n}$

$E\eta =A(EX),D\eta =A(DX)A^{\prime }$

样本均值和样本方差的分布

单个正态总体

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$来自正态总体$N(\mu ,{\sigma }^2)$，则：
$$\begin{array}{rl}\bar{X}& \sim N(\mu ,\frac{{\sigma }^2}{n})\\ \frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}& \sim N(0,1)\\ \frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2}& \sim {\chi }^2(n-1)\\ \frac{n{S}_n^2}{{\sigma }^2}& \sim {\chi }^2(n-1)\\ \frac{\frac{\bar{X}-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{{\sigma }^2(n-1)}}}=\frac{\bar{X}-\mu }{S/\sqrt{n}}& \sim t(n-1)\end{array}$$

两个正态总体

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$来自正态总体$N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$Y_1,Y_2,\cdots ,Y_m$来自正态总体$N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$ ,则：
$$\begin{array}{rl}\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\sim N({\mu }_1,\frac{{\sigma }_1^2}{n}),& \bar{Y}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{Y}_i\sim N({\mu }_2,\frac{{\sigma }_2^2}{m})\\ S_1^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2,& S_2^2=\frac{1}{m-1}\sum _{i=1}^m(Y_i-\bar{Y}{)}^2\\ \frac{(n-1)S_1^2}{{\sigma }_1^2}\sim {\chi }^2(n-1),& \frac{(m-1)S_2^2}{{\sigma }_2^2}\sim {\chi }^2(m-1)\\ \frac{\frac{(n-1)S_1^2}{{\sigma }_1^2(n-1)}}{\frac{(m-1)S_2^2}{{\sigma }_2^2(m-1)}}=\frac{S_1^2/{\sigma }_1^2}{S_2^2/{\sigma }_2^2}& \sim F(n-1,m-1)\end{array}$$

若${\sigma }_1={\sigma }_2$，则：$\frac{S_1^2}{S_2^2}\sim F(n-1,m-1)$

$X_1,X_2,\cdots ,X_n$来自正态总体$N({\mu }_1,{\sigma }^2)$，$Y_1,Y_2,\cdots ,Y_m$来自正态总体$N({\mu }_2,{\sigma }^2)$ ,则：
$$\begin{array}{rl}\bar{X}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{X}_i\sim N({\mu }_1,\frac{{\sigma }^2}{n}),& \bar{Y}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m{Y}_i\sim N({\mu }_2,\frac{{\sigma }^2}{m})\\ S_1^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(X_i-\bar{X}{)}^2,& S_2^2=\frac{1}{m-1}\sum _{i=1}^m(Y_i-\bar{Y}{)}^2\\ \frac{(n-1)S_1^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1),& \frac{(m-1)S_2^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(m-1)\\ \frac{(n-1)S_1^2}{{\sigma }^2}+\frac{(m-1)S_2^2}{{\sigma }^2}& \sim {\chi }^2(n+m-2)\\ \bar{X}-\bar{Y}& \sim N({\mu }_1-{\mu }_2,\frac{{\sigma }^2}{n}+\frac{{\sigma }^2}{m})\\ \frac{\bar{X}-\bar{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}+\frac{{\sigma }^2}{m}}}& \sim N(0,1)\\ \frac{\frac{\bar{X}-\bar{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{{\sigma }^2}{n}+\frac{{\sigma }^2}{m}}}}{\sqrt{\frac{(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2}{{\sigma }^2(n+m-2)}}}& =\frac{\bar{X}-\bar{Y}-({\mu }_1-{\mu }_2)}{\sqrt{\frac{1}{n}+\frac{1}{m}}\sqrt{\frac{(n-1)S_1^2+(m-1)S_2^2}{(n+m-2)}}}\sim t(n+m-2)\end{array}$$