代码随想录动态规划——不同路径

题目

一个机器人位于一个 m x n 网格的左上角 （起始点在下图中标记为 “Start” ）。

机器人每次只能向下或者向右移动一步。机器人试图达到网格的右下角（在下图中标记为 “Finish” ）。

问总共有多少条不同的路径？

示例 1：

输入：m = 3, n = 7
输出：28
示例 2：
输入：m = 2, n = 3
输出：3
解释： 从左上角开始，总共有 3 条路径可以到达右下角。
向右 -> 向右 -> 向下
向右 -> 向下 -> 向右
向下 -> 向右 -> 向右
示例 3：
输入：m = 7, n = 3
输出：28
示例 4：
输入：m = 3, n = 3
输出：6
提示：
1 <= m, n <= 100
题目数据保证答案小于等于 2 * 10^9

思路

因为机器人每次只能向下或者向右移动一步，所以机器人走过的路径可以抽象成一棵二叉树，叶子节点就是终点，这样就转化成求叶子节点的个数了，但是这样会超时

动态规划：

动规五部曲：

机器人从(0，0)出发，到(m-1，n-1)终点

1. 确定dp数组以及下标的含义
   dp[i][j] ：表示从(0，0)出发，到(i, j) 有dp[i][j]条不同的路径
2. 确定递推公式
   dp[i][j]只能有两个方向来推导出来，即dp[i - 1][j] （左边）和 dp[i][j - 1]（上边）
3. dp数组的初始化
   dp[i][0]一定都是1，因为从(0, 0)的位置到(i, 0)的路径只有一条（只能一直往下），那么dp[0][j]也同理：

for (int i = 0; i < m; i++) dp[i][0] = 1;
for (int j = 0; j < n; j++) dp[0][j] = 1;
1
2

4. 确定遍历顺序
   递归公式dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1]，dp[i][j]都是从其上方和左方推导而来，那么从左到右一层一层遍历就可以了。
5. 举例推导dp数组
   

java代码如下：

class Solution {
	public int uniquePaths(int m, int n){
		int[][] dp = new int[m][n];//因为是从(0,0)->(m-1,n-1),所以需要创建[m][n]个
		//初始化
		for(int i = 0; i < m; i++){
			dp[i][0] = 1;
		}
		for(int i = 0; i < n; i++){
			dp[0][i] = 1;
		}
	
		for(int i = 1; i < m; i++){
			for(int j = 1;j < n; j++){
				dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-1];
			}
		}
		return dp[m-1][n-1];
	}
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
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18
19