树上两点之间的路径数

一 问题描述

一棵有 n 个节点的树，每条边都有一个长度（小于 1001 的正整数），dist(u , v ) 为节点 u 和 v 的最小距离。给定一个整数 k ，对每对节点(u , v )，当且仅当 dist(u , v )不超过 k 时才叫作有效。计算给定的树中有多少对节点是有效的。

二 输入和输出

1 输入

输入包含几个测试用例。每个测试用例的第 1 行都包含两个整数 n 、k （n ≤10000），下面的 n -1 行，每行都包含三个整数 u、v 、l ，表示节点 u 和 v 之间有一条长度为 l 的边。在最后一个测试用例后面跟着两个0。

2 输出

对每个测试用例，都单行输出答案。

三 输入和输出样例

1 输入样例

5 4

1 2 3

1 3 1

1 4 2

3 5 1

0 0

2 输出样例

8

四 分析

根据测试用例的输入数据，树形结构如下图所示。树中距离不超过 4 的有 8 对节点：1-2、1-3、1-4、1-5、2-3、3-4、3-5、4-5。

查询树中有多少对节点距离不超过 k ，相当于查询树上两点之间距离不超过 k 的路径有多少条。可采用点分治解决。当数据量很大时，树上两点之间的路径很多，采用暴力穷举的方法是不可行的，可以采用树上分治算法进行点分治。以树的重心 root 为划分点，则树上两点 u 、v 的路径分为两种：① 经过root；② 不经过root（两点均在 root 的一棵子树中），只需求解第1类路径，对第2类路径根据分治策略继续采用重心分解即可得到。

五 设计

1 求树的重心 root。

2 从树的重心 root 出发，统计每个节点到 root 的距离。

3 对距离数组排序，以双指针扫描，统计以 root 为根的子树中满足条件的节点数。

4 对root的每一棵子树 v 都减去重复统计的节点数。

5 从 v 出发重复上述过程。

六 图解

求解树上两点之间距离（路径长度）不超过 4 的路径数。

1 求解树的重心，root =1。

2 从树的重心 root 出发，统计每个节点到 root 的距离，得到距离数组 dep[]。

3 对距离数组进行非递减排序，结果如下图所示。然后以双指针扫描，统计以 root 为根的子树中满足条件的节点对数。

a L =1，R =7，因为 dep[L ] + dep[R ] > 4，则 R--。

b L =1，R = 5，dep[L ]+dep[R ] <= 4，则 ans += R - L = 4，L++。

c L = 2，R = 5，若 dep[L] + dep[R] ≤ 4，则 ans += R -L = 4+3 = 7，L++。

d L = 3，R = 5，因为 dep[L]+dep[R] > 4，则 R--。

e L = 3，R = 4，因为 dep[L] + dep[R] ≤ 4，则 ans += R - L = 7+1 = 8，L++，此时 L = R ，算法停止。

也就是说，以 1 为根的树，满足条件的路径数有 8 个。在这些路径中，有些是合并路径，例如两条路径 1-2 和 1-3，其路径长度之和为 4，满足条件。这相当于将两条路径合并为 2-1-3，路径长度为 4。

路径长度小于或等于 4 的 8 条路径如下表所示。

第 7 条路径的合并是错误的。路径 1-3 和路径 1-3-7 的路径长度之和虽然小于或等于 4，但是不可以作为合并路径，因为树中任意两个节点之间的路径都是不重复的。而路径 1-3 和路径 1-3-7 之间的路径有重复，所以这样的路径不可以作为合并路径。可以先统计该路径，然后在处理以 3 为根的子树时去重。

4 对 root 的每一棵子树 v 都先去重，然后求以 v 为根的子树的重心，重复上述过程。

5 去重

去重。以 2 为根的子树没有重复统计的路径。

6 以 2 为根的子树的重心为 2，该子树满足条件的路径有3条，ans +=3=8+3=11，这 3 条为 2-5、2-6、2-5, 5-6（相当于一条合并路径 5-2-6，路径长度为 4 ）。

7 去重。以 3 为根的子树，该子树有一条重复统计的路径（1-3 和 1-3-7 的合并路径）。减去重复路径，ans-1 = 10。

8 以 3 为根的子树的重心为 3，该子树满足条件的路径有 1 条（3-7），路径长度为 1，ans+1 = 11。

9 以 4 为根的子树的重心为 4，该子树没有重复统计的路径，也没有满足条件的路径。

七 算法实现

1 求树的重心

只需进行一次深度优先遍历，找到删除该节点后最大子树最小的节点。用 f[u] 表示删除 u 后最大子树的大小，size[u]表示以 u 为根的子树的节点数，S 表示整棵子树的节点数。先统计 u 的所有子树中最大子树的节点数 f[u ]，然后与 S-size[u ]比较，取最大值。

若 f[u] < f[root]，则更新当前树的重心为 root=u 。

2 统计每个节点到重心 u 的距离。把 dep[0]当作计数器使用，初始化为0，深度优先遍历，将每个节点到 u 的距离 d[] 都存入dep 数组中。

3 统计重心 u 的子树中满足条件的个数。初始化 d[u]=dis 且 dep[0]=0（用于计数），将每个节点到 u 的距离 d[] 都存入 dep 数组中；然后对 dep 数组排序，L=1，R=dep[0]（dep数组末尾的下标），用 sum 累加满足条件的节点对个数。

4 对重心 u 的所有子树都先去重，然后递归求解答案。对 u 的每一棵子树 v 都减去 v 中重复统计的答案，然后从 v 出发重复上述过程。

八 代码

package com.platform.modules.alg.alglib.poj1741;
 
import java.util.Arrays;
 
public class Poj1741 {
    private int maxn = 10005;
    int cnt, n, k, ans;
    int head[] = new int[maxn];
    int root, S;
    int size[] = new int[maxn];
    int f[] = new int[maxn];
    int d[] = new int[maxn];
    int dep[] = new int[maxn];
    boolean vis[] = new boolean[maxn];
    edge edge[] = new edge[maxn * 2];
    public String output = "";
 
    public Poj1741() {
        for (int i = 0; i < edge.length; i++) {
            edge[i] = new edge();
        }
    }
 
    // 获取重心
    void getroot(int u, int fa) {
        size[u] = 1;
        f[u] = 0; // 删除 u 后，最大子树的大小
        for (int i = head[u]; i > 0; i = edge[i].next) {
            int v = edge[i].to;
            if (v != fa && !vis[v]) {
                getroot(v, u);
                size[u] += size[v];
                f[u] = Math.max(f[u], size[v]);
            }
        }
        f[u] = Math.max(f[u], S - size[u]); // S为当前子树总结点数
        if (f[u] < f[root])
            root = u;
    }
 
    // 获取距离
    void getdep(int u, int fa) {
        dep[++dep[0]] = d[u]; // 保存距离数组
        for (int i = head[u]; i > 0; i = edge[i].next) {
            int v = edge[i].to;
            if (v != fa && !vis[v]) {
                d[v] = d[u] + edge[i].w;
                getdep(v, u);
            }
        }
    }
 
    // 获取 u 的子树中满足个数
    int getsum(int u, int dis) {
        d[u] = dis;
        dep[0] = 0;
        getdep(u, 0);
 
        Arrays.sort(dep, 1, 1 + dep[0]);
        int L = 1, R = dep[0], sum = 0;
        while (L < R)
            if (dep[L] + dep[R] <= k) {
                sum += R - L;
                L++;
            } else
                R--;
        return sum;
    }
 
    // 获取答案
    void solve(int u) {
        vis[u] = true;
        ans += getsum(u, 0);
        for (int i = head[u]; i > 0; i = edge[i].next) {
            int v = edge[i].to;
            if (!vis[v]) {
                ans -= getsum(v, edge[i].w);//减去重复
                root = 0;
                S = size[v];
                getroot(v, u);
                solve(root);
            }
        }
    }
    
    void add(int u, int v, int w) {
        edge[++cnt].to = v;
        edge[cnt].w = w;
        edge[cnt].next = head[u];
        head[u] = cnt;
    }
 
    public String cal(String input) {
        f[0] = 0x7fffffff; // 初始化树根
        String[] line = input.split("\n");
        String[] num = line[0].split(" ");
        n = Integer.parseInt(num[0]);
        k = Integer.parseInt(num[1]);
 
        cnt = 0;
        ans = 0;
        for (int i = 1; i <= n - 1; i++) {
            String[] edge = line[i].split(" ");
            int x, y, z;
            x = Integer.parseInt(edge[0]);
            y = Integer.parseInt(edge[1]);
            z = Integer.parseInt(edge[2]);
            add(x, y, z);
            add(y, x, z);
        }
        root = 0;
        S = n;
        getroot(1, 0);
        solve(root);
        output = ans + "";
        return output;
    }
}
 
class edge {
    int to, next, w;
}

九 测试