【证明】线性空间的基本性质

性质 1　零向量是唯一的。

证明　设 $0_1,0_2$ 是线性空间 $V$ 中的两个零向量，即对任何 $\mathbf{\alpha }\in V$，有
α + 0 1 = α α + 0 2 = α

(1)α+01=α(2)α+02=α" role="presentation">α+01=αα+02=α(1)(2)$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathit{\alpha }+{\mathbf{0}}_1=\mathit{\alpha }\text{(2)}& \mathit{\alpha }+{\mathbf{0}}_2=\mathit{\alpha }\end{array}$$

α+01​=αα+02​=α​(1)(2)​
将 $(1)$ 代入 $(2)$ 有 $(\mathbf{\alpha }+0_1)+0_2=(\mathbf{\alpha }+0_1)$，将 $(2)$ 代入 $(1)$ 有 $(\mathbf{\alpha }+0_2)+0_1=(\mathbf{\alpha }+0_2)$，进而有
$$0_1+0_2=0_1,0_2+0_1=0_2$$
所以
$$0_1=0_1+0_2=0_2+0_1=0_2$$
得证。

性质 2　任一向量的负向量是唯一的，$\mathbf{\alpha }$ 的负向量记作 $-\mathbf{\alpha }$。

证明　设 $\mathbf{\beta },\mathbf{\gamma }$ 是 $\mathbf{\alpha }$ 的负向量，即 $\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta }=0$，$\mathbf{\alpha }+\mathbf{\gamma }=0$。于是
$$\mathbf{\beta }=\mathbf{\beta }+0=\mathbf{\beta }+(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\gamma })=\mathbf{\gamma }+(\mathbf{\alpha }+\mathbf{\beta })=\mathbf{\gamma }+0=\mathbf{\gamma }$$
得证。

性质 3　$0\mathbf{\alpha }=0$。

证明　因为 $\boldsymbol{\alpha} + 0 \boldsymbol{\alpha} = 1\boldsymbol{\alpha} + 0 \boldsymbol{\alpha} = (1 + 0) \boldsymbol{\alpha} = 1\boldsymbol{\alpha} = \boldsymbol{\alpha} $，所以 $0\mathbf{\alpha }=0$。得证。

性质 4　$(-1)\mathbf{\alpha }=-\mathbf{\alpha }$。

证明　因为 $\mathbf{\alpha }+(-1)\mathbf{\alpha }=1\mathbf{\alpha }+(-1)\mathbf{\alpha }=[1+(-1)]\mathbf{\alpha }=0\mathbf{\alpha }=0$，所以 $(-1)\mathbf{\alpha }=-\mathbf{\alpha }$。得证。

性质 5　$\lambda 0=0$。

证明　根据性质 4，有 $\lambda 0=\lambda [\mathbf{\alpha }+(-1)\mathbf{\alpha }]=0\mathbf{\alpha }=0$。得证。

性质 6　如果 $\lambda \mathbf{\alpha }=0$，则 $\lambda =0$ 或 $\mathbf{\alpha }=0$。

证明　若 $\lambda \ne 0$，在 $\lambda \mathbf{\alpha }=0$ 两边乘 $\frac{1}{\lambda }$，得
$$\frac{1}{\lambda }(\lambda \mathbf{\alpha })=\frac{1}{\lambda }0=0$$
而
$$\frac{1}{\lambda }(\lambda \mathbf{\alpha })=(\frac{1}{\lambda }\lambda )\mathbf{\alpha }=1\mathbf{\alpha }=\mathbf{\alpha }$$
所以有 $\mathbf{\alpha }=0$。得证。