正定二次型

定理 1（惯性定理）　设二次型 $f={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$ 的秩为 $r$，且有两个可逆变换
$$\mathbf{x}=\mathbf{C}\mathbf{y}及\mathbf{x}=\mathbf{P}\mathbf{z}$$
使
$$f=k_1{y}_1^2+k_2{y}_2^2+\cdots +k_r{y}_r^2(k_i\ne 0)$$
及
$$f={\lambda }_1{z}_1^2+{\lambda }_2{z}_2^2+\cdots +{\lambda }_r{z}_r^2({\lambda }_i\ne 0)$$
则 $k_1,\cdots ,k_r$ 中正数的个数与 ${\lambda }_1,\cdots ,{\lambda }_r$ 中正数的个数相等。

证明　略。

二次型的标准形中正系数的个数称为二次型的 正惯性指数，负系数的个数称为 负惯性指数。若二次型 $f$ 的正惯性指数为 $p$，秩为 $r$，则 $f$ 的规范形便可确定为
$$f=y_1^2+\cdots y_p^2-y_{p+1}^2-\cdots -y_r^2$$

定义 1　设二次型 $f(\mathbf{x})={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$，如果对任何 $\mathbf{x}\ne 0$，都有 $f(\mathbf{x})>0$（显然 $f(0)=0$，则称 $f$ 为正定二次型，并称对称矩阵 $\mathbf{A}$ 是正定的；如果对任何 $\mathbf{x}\ne 0$ 都有 $f(\mathbf{x})<0$，则称 $f$ 为负定二次型，并称对称矩阵 $\mathbf{A}$ 是负定的。

定理 2　$n$ 元二次型 $f={\mathbf{x}}^T\mathbf{A}\mathbf{x}$ 为正定的充分必要条件是：它的标准形的 $n$ 个系数全为正，即它的规范形的 $n$ 个系数全为 $1$，亦即它的正惯性指数等于 $n$。

证明见 “【证明】二次型正定的充要条件是特征值全为正”。

推论　对称矩阵 $\mathbf{A}$ 为正定的充分必要条件是：$\mathbf{A}$ 的特征值全为正。

证明见 “【证明】二次型正定的充要条件是特征值全为正”。

定理 3（赫尔维茨定理）　对称矩阵 $\mathbf{A}$ 为正定的充分必要条件是：$\mathbf{A}$ 的各阶主子式都为正，即
a 11 > 0 ,   ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ > 0 ,   ⋯   ,   ∣ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ∣ > 0 a_{11} > 0, \

> 0, \ \cdots, \ > 0 a11​>0,  ​a11​a21​​a12​a22​​ ​>0, ⋯,  ​a11​⋮an1​​⋯⋯​a1n​⋮ann​​ ​>0
对称矩阵 $\mathbf{A}$ 为负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，而偶数阶主子式为正，即
( − 1 ) r ∣ a 11 ⋯ a 1 r ⋮ ⋮ a r 1 ⋯ a r r ∣ > 0   ( r = 1 , 2 , ⋯   , n ) (-1)^r

|a11⋯a1r⋮⋮ar1⋯arr|" role="presentation" style="position: relative;">∣∣∣∣∣a11⋮ar1⋯⋯a1r⋮arr∣∣∣∣∣$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1r}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{r1}& \cdots & a_{rr}\end{array}\right|$$

> 0 \ (r=1,2,\cdots,n) (−1)r ​a11​⋮ar1​​⋯⋯​a1r​⋮arr​​ ​>0 (r=1,2,⋯,n)

证明　略。