前置定理 1 任给二次型
f
=
∑
i
,
j
=
1
n
a
i
j
x
i
x
j
(
a
i
j
=
a
j
i
)
f = \sum_{i,j=1}^n a_{ij} x_i x_j \ (a_{ij} = a_{ji})
f=∑i,j=1naijxixj (aij=aji)，总有正交变换
x
=
P
y
\boldsymbol{x} = \boldsymbol{P} \boldsymbol{y}
x=Py，使
f
f
f 化为标准形
f
=
λ
1
y
1
2
+
λ
2
y
2
2
+
⋯
λ
n
y
n
2
f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots \lambda_n y_n^2
f=λ1y12+λ2y22+⋯λnyn2
其中
λ
1
,
λ
2
,
⋯
,
λ
n
\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n
λ1,λ2,⋯,λn 是
f
f
f 的矩阵
A
=
(
a
i
j
)
\boldsymbol{A} = (a_{ij})
A=(aij) 的特征值。
证明见 “二次型及其标准形”。
定理 1 n n n 元二次型 f = x T A x f = \boldsymbol{x}^T \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} f=xTAx 为正定的充分必要条件是：它的标准形的 n n n 个系数全为正，即它的规范形的 n n n 个系数全为 1 1 1，亦即它的正惯性指数等于 n n n。
证明 设可逆矩阵 x = C y \boldsymbol{x} = \boldsymbol{C} \boldsymbol{y} x=Cy 使
f ( x ) = f ( C y ) = ∑ i = 1 n k i y i 2 f(\boldsymbol{x}) = f(\boldsymbol{C} \boldsymbol{y}) = \sum_{i=1}^n k_i y_i^2 f(x)=f(Cy)=i=1∑nkiyi2
先证充分性。设 k i > 0 ( i = 1 , ⋯ , n ) k_i > 0 \ (i=1,\cdots,n) ki>0 (i=1,⋯,n)。任给 x ≠ 0 \boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{0} x=0，则 y = C − 1 x ≠ 0 \boldsymbol{y} = \boldsymbol{C}^{-1} \boldsymbol{x} \ne \boldsymbol{0} y=C−1x=0，故
f ( x ) = ∑ i = 1 n k i y i 2 > 0 f(\boldsymbol{x}) = \sum_{i=1}^n k_i y_i^2 > 0 f(x)=i=1∑nkiyi2>0
再证必要性。用反证法。假设有 k s ≤ 0 k_s \le 0 ks≤0，则当 y = e s \boldsymbol{y} = \boldsymbol{e}_s y=es（单位坐标向量）时， f ( C e s ) = k s ≤ 0 f(\boldsymbol{C} \boldsymbol{e}_s) = k_s \le 0 f(Ces)=ks≤0。显然 C e s ≠ 0 \boldsymbol{C} \boldsymbol{e}_s \ne \boldsymbol{0} Ces=0，这与 f f f 为正定相矛盾。这就证明了 k i > 0 ( i = 1 , ⋯ , n ) k_i > 0 \ (i=1,\cdots,n) ki>0 (i=1,⋯,n)。
推论 对称矩阵 A \boldsymbol{A} A 为正定的充分必要条件是： A \boldsymbol{A} A 的特征值全为正。
证明 根据定理 1 和前置定理 1，显然推论成立。