数学中的上确界和下确界

1. 什么是上确界和下确界

（1）inf： infimum 或 infima，中文叫下确界或最大下界。 inf(S)， S表示一个集合， inf(S)是指集合S的下确界， 即小于或等于S中所有元素的最大值， 这个数不一定在集合S中。

（2）sup：supremum，中文叫上确界。sup(S)是指集合S的上确界，即大于或等于S的所有元素的最小值， 这个数不一定在集合S中。

下面举例说明：

inf{1,2,3,4,5}=1;

inf{x∈R,0

inf{(−1)n+1/n+1:n=1,2,3,...}=0;

sup{1,2,3,4}=4;
sup { x ∈ R , 0 < x < 10 } = sup { x ∈ R , 0 ≤ x ≤ 10 } = 10。

2. 上确界和下确界的性质

sup{a+b:a∈A and b∈B}=sup(A)+sup(B);
inf{a+b:a∈A and b∈B}=inf(A)+inf(B);