线性代数行列式

目录

二阶与三阶行列式

二元线性方程组与二阶行列式 

三阶行列式 

全排列和对换 

排列及其逆序数

对换 

n阶行列式的定义 

行列式的性质

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二阶与三阶行列式

二元线性方程组与二阶行列式 

若是采用消元法解x1、x2的话则得到以下式子

 

有二阶行列式的规律可得：分母的形式为 

当求解的为x1的分子的时候我们得到 

当求解的为x2的分子的时候我们得到 

所以我们可以得到一个利用二阶行列式求解二元线性方程组求解的规律

例如根据此规律求解：

以下是求解步骤 

  

三阶行列式 

 

根据如图所示的运算规律，我们计算两道例题来加深理解

D = 1 * 2 * ( - 2 ) + 2 * 1 * ( - 3 ) + ( - 4 ) * ( - 2 ) * 4 - ( - 3 ) * ( - 4 ) * 2 - 2 * ( - 2 ) * ( - 2 ) - 1 * 1 * 4 = -4 - 6 + 32 - 24 - 8 - 4 = - 14

D = 3x^2 + 4x + 18 - 12 - 2x^2 - 9x = x^2 - 5x + 6

而后根据一元二次方程求解可得x = 2或x = 3 

全排列和对换 

排列及其逆序数

把n个不同的元素排列成一列，叫做这n个元素的全排列，也简称排列。n个不同元素的所有排列的中枢，通常用Pn表示，假设n为元素个数，那么Pn = n!

对于n个不同的元素，先规定个元素之间有一个标准次序(例如n个不同的自然数，可规定由小到大为标准次序)，于是在这n个元素的任意排列当中，当某一对元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成了一个逆序，一个排列中所有逆序的总数叫做这个排列的逆序数

逆序数为奇数的排列叫做奇排列，逆序数为偶数的排列叫做偶排列 

不失一般性，不妨设n个元素为1-n这n个自然数，并规定由从小到大为标准次序，设p1-pn为这n个自然数的一个排列，考虑到元素pi(i = 1,2...n)，如果比pi大的且排在pi前面的元素有ti个，就说pi这个元素的逆序数是ti，全排列的逆序数之综合t = t1 + t2 + t3 + ... + tn = 即为这个排列的逆序数

例题：求32514中的逆序数

t1 = 0

t2 = 1(2的前面有3)

t3 = 0

t4 = 3(1的前面有3、2、5) 

t5 = 1(4的前面有5)

对换 

在排列当中，将任意两个元素对调，其余的元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换，将相邻两个元素对换，叫做相邻对换

对换分为：相邻对换与不相邻对换

定理一：一个排列当中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性 

定理二：及排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列兑换成标准排列的次数为偶数

n阶行列式的定义 

 有三阶行列式可得

根据该三阶规律式我们可以将aij想象为国际象棋中的皇后，皇后的放置规则和aij中i与j的选择类似

由此我们可以推导出n阶行列式，简称det(aij)，其中的数aij称为行列式D的(i,j)元 

注意：在我们学过行列式之后，线性代数中的|a|就不能够简单的当作一个绝对值来运算，其有可能是当n = 1时的一个行列式。

由n阶行列式我们可以推导出下三角行列式和对角行列式，由于下三角行列式的除对角线以上的所有元素均为0，因此D = a11a22a33...ann，对于对角行列式则除了对角线其余所有元素皆为0，其与下三角行列式类似，都刷过上三角矩阵和下三角矩阵的编程题，这里就不再赘述

行列式的性质

性质一：行列式与他的转置行列式相同

DT为D的转置行列式，那么我们利用计算机的思维来理解的话，可以发现转置行列式实际就是原行列式按照对角线对于矩阵元素反转，换句话说就是将aij换为aji即可

性质二：对换行列式的两行(列)，行列式变号

推论：如果行列式有两行(列)完全相同，则此行列式等于零

由性质二可得，如果行列式有两行(列)完全相同，那么交换此两行(列)则与不交换完全相同，即D = - D，那么则有唯一解，D = 0 

推论三： 行列式的某一行(列)中所有元素都同乘一数k，等于用数k乘此行列式

推论：行列式当中某一行(列)的所有元素的公因子可以提到行列式记号的外面

性质四：行列式中如果有两行(列)元素成比例，则此行列式等于零

性质五：若行列式的某一行(列)的元素都是两数之和，则可以拆为多个行列式之和

性质六：把行列式的某一行(列)的各元素乘同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式不变

未完待续...