题目描述

Hanks 博士是 BT（Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫 Hankson。现在，刚刚放学回家的 Hankson 正在思考一个有趣的问题。

今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数 c1​ 和 c2​ 的最大公约数和最小公倍数。现在 Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0​,a1​,b0​,b1​，设某未知正整数 xx 满足：

1. x 和 a0​ 的最大公约数是 a1​；

2. x 和 b0​ 的最小公倍数是 b1​。

Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数 xx。但稍加思索之后，他发现这样的 x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的 x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

第一行为一个正整数 n，表示有 n 组输入数据。接下来的n 行每行一组输入数据，为四个正整数 a0​,a1​,b0​,b1​，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证 a0​ 能被 a1​ 整除，b1​ 能被 b_0b0​ 整除。

输出格式

共 n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。

对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出 0，若存在这样的 x，请输出满足条件的 x 的个数；

输入输出样例

输入 #1

2 
41 1 96 288 
95 1 37 1776 

输出 #1

6 
2

说明/提示

【样例解释】

第一组输入数据，x 可以是 9,18,36,72,144,288，共有 6 个。

第二组输入数据，x 可以是 48,1776，共有 2 个。

【数据范围】

• 对于 50\%50% 的数据，保证有 1≤a0​,a1​,b0​,b1​≤10000 且 n≤100。
• 对于 100\%100% 的数据，保证有 1≤a0​,a1​,b0​,b1​≤2× 且 n≤2000。

题解

没错我不是来宣传正解的，我是来说一种毒瘤解法的 。

哦哦，如果你不想看讲基本做法。你可以向下翻。

嗯，其实遇到这种单纯的gcd  or  lcm的题，我们都可以用一种比较简单的方法分析：唯一分解定理。

嗯，是整数域的唯一分解，不是多项式域的唯一分解。

那么其实其他的大佬已经解释得很清楚了，关于这种解法，大部分来讲都是先筛出数据范围上限n​即可。但是有个Bug就是对于每个合数k，都最多有一个质因子是大于k​的由于数据范围过大窝萌没法直接筛，而我正是解决了这个问题（虽然有点慢）.

我们思考对于a0​和a1​而言，假设gcd(x,a0​)=a1​

那么我们会有比较浅显的结论：

若a0​=i=1∏m​pici​​  ,  x=i=1∏n​pidi​​

那么

a1​=i=1∏max(m,n)​pimin(ci​,di​)​

那我们反着考虑，对于他们的 gcd——a1​ 里的 pi​ 来讲，要么是a0​中的，要么是x中的。换句话说，如果ci​=min(ci​,di​)，那么di​只需要≥ ci​即可，也就是说di​可以在区间 [ci​,∞) 上随便取，我们现在称这个x为自由未知数（free known−number），称这个区间为自由区间（free ranges）。

而如果不一样，就只可能是 ci​>min(di​,ci​)，此时没有任何取法，只有可能是 di​=min(di​,ci​)，所以就只能有一种选法，我们现在称这个x为非自由未知数（unfree uknown−number）。

同理，lcm那部分也一样。

但是这个地方需要注意的是，我们需要考虑种不同情况：

1、两个方程的x均非自由，那么如果不同的话就会无解。

2&3、gcd或者lcm中有一个非自由，我们需要判断这个非自由的解是否是在另一个的自由区间内，不在就是不合法。

4、都是自由的，那么就做个差留到最后乘法原理。

代码大概长这样：

​
inline void Linearity(){
    T = qr() ;
    Chk[1] = Chk[0] = 1 ;
    for (i = 2 ; i <= MAX ; ++ i){
        if (!Chk[i]) P[++ P[0]] = i ;
        for (j = 1; j <= P[0] && i * P[j] <= MAX ; ++ j){
            Chk[i * P[j]] = 1 ;
            if (i % P[j] == 0) break ;
        }
    }
}
inline void work(int ST, int ED){
    for(i = ST; i <= ED ; ++ i){
        N1 = N2 = N3 = N4 = 0 ;
        while (!(A0 % P[i])) A0 /= P[i], ++ N1 ;
        while (!(A1 % P[i])) A1 /= P[i], ++ N2 ;
        while (!(B0 % P[i])) B0 /= P[i], ++ N3 ;
        while (!(B1 % P[i])) B1 /= P[i], ++ N4 ;
 		if (N1 > N2 && N3 < N4){
            if (N2 == N4) A[i] = B[i] = 1 ;
            else {mark = 0; break ;}
            continue ;
        }
        if (N1 > N2){
            if (N4 >= N2) A[i] = B[i] = N2 ;
            else {mark = 0; break ;}
            continue ;
        }
        if (N3 < N4){
            if (N4 >= N2) A[i] = B[i] = N3 ;
            else {mark = 0; break ;}
            continue ;
        }
        else {
            if (N4 >= N2) A[i] = N2, B[i] = N4 ;
            else {mark = 0; break ;}
        }
    }
}
 
​

那么接下来的问题就是该怎么确定最后一个质因子。有一个很显然的做法是由于是最后一个质因子，所以我们只需要判断一下分解完质因数每一个是不是1即可，不是1的话，那就肯定是未筛到的，我们直接让他加入prime数组即可。哦，对，还需要再筛一遍，详情看代码即可。

​
#include 
#include 
#include 
#define MAX 45000
#define ll long long
 
using namespace std ;
bitset  Chk ; int A0, A1, B0, B1 ;
int Ans, T, i, j, P[MAX >> 2] ; bool mark ;
int N1, N2, N3, N4, A[MAX >> 2], B[MAX >> 2], Txt ;
 
inline int qr(){
    int k = 0 ; char c = getchar() ;
    while(!isdigit(c)) c = getchar() ;
    while(isdigit(c)) k = (k << 1) + (k << 3) + c - 48, c = getchar() ;
    return k ;
}
inline void Linearity(){
    T = qr() ;
    Chk[1] = Chk[0] = 1 ;
    for (i = 2 ; i <= MAX ; ++ i){
        if (!Chk[i]) P[++ P[0]] = i ;
        for (j = 1; j <= P[0] && i * P[j] <= MAX ; ++ j){
            Chk[i * P[j]] = 1 ;
            if (i % P[j] == 0) break ;
        }
    }
}
inline void work(int ST, int ED){
    for(i = ST; i <= ED ; ++ i){
        N1 = N2 = N3 = N4 = 0 ;
        while (!(A0 % P[i])) A0 /= P[i], ++ N1 ;
        while (!(A1 % P[i])) A1 /= P[i], ++ N2 ;
        while (!(B0 % P[i])) B0 /= P[i], ++ N3 ;
        while (!(B1 % P[i])) B1 /= P[i], ++ N4 ;
 		if (N1 > N2 && N3 < N4){
            if (N2 == N4) A[i] = B[i] = 1 ;
            else {mark = 0; break ;}
            continue ;
        }
        if (N1 > N2){
            if (N4 >= N2) A[i] = B[i] = N2 ;
            else {mark = 0; break ;}
            continue ;
        }
        if (N3 < N4){
            if (N4 >= N2) A[i] = B[i] = N3 ;
            else {mark = 0; break ;}
            continue ;
        }
        else {
            if (N4 >= N2) A[i] = N2, B[i] = N4 ;
            else {mark = 0; break ;}
        }
    }
}
int main(){
    freopen("son.in", "r", stdin) ;
    freopen("son.out", "w", stdout) ;
    Linearity() ;
    while(T --){
        Ans = 1, mark = 1 ;
        A0 = qr(), A1 = qr(), B0 = qr(), B1 = qr() ;
        work(1, P[0]) ;
        if (A0 != 1 || A1 != 1 || B0 != 1 || B1 != 1){
            Txt = P[0] + 1 ;
            if (B1 != 1) P[++ P[0]] = B1 ;
            if (A1 != 1 && A1 != B1) P[++ P[0]] = A1 ;
            if (A0 != 1 && A0 != B1 && A0 != A1) P[++ P[0]] = A0 ;
            if (B0 != 1 && B0 != B1 && B0 != A1 && B0 != A0) P[++ P[0]] = B0 ;
            work(Txt, P[0]) ;
        }
        for(i = 1; i <= P[0] && mark ; ++ i) Ans *= (B[i] - A[i] + 1) ;
        if (!mark) putchar('0'), putchar('\n') ;
        else printf("%d\n", Ans) ;
    }
}
 
 
​

最后还有彩蛋哦：

1、这个题中的关键代码，就是work函数是在作者事先考虑清楚，事中如同做梦，事后不可思议的情况下写出来的……也就是说当时写代码的时候码力突然增强了一个量级

2、关于什么自由不自由的定义……哈哈哈哈那只是我的突发奇想而已~~不是故意哲学!不是！~~但是你会发现以下的文字阐述确实会简练好多啊

3、其实你如果去不找另一个比较大的质数，也是可以得90分的！从loj的数据来看，前面的测试点一路顺风，只有最后一个测试点是专门卡这一点的，因为出现了好多行答案不相同的情况

4、其实我觉得我最后的操作是跟AlphaGo动态学习处理信息有点异曲同工之处的，所以为了这个必须来写题解！