AcWing 1273：天才的记忆 ← ST算法求解RMQ问题

【题目来源】
https://www.acwing.com/problem/content/1275/

【题目描述】
从前有个人名叫 WNB，他有着天才般的记忆力，他珍藏了许多许多的宝藏。
在他离世之后留给后人一个难题（专门考验记忆力的啊！），如果谁能轻松回答出这个问题，便可以继承他的宝藏。
题目是这样的：给你一大串数字（编号为 1 到 N，大小可不一定哦！），在你看过一遍之后，它便消失在你面前，随后问题就出现了，给你 M 个询问，每次询问就给你两个数字 A,B，要求你瞬间就说出属于 A 到 B 这段区间内的最大数。
一天，一位美丽的姐姐从天上飞过，看到这个问题，感到很有意思（主要是据说那个宝藏里面藏着一种美容水，喝了可以让这美丽的姐姐更加迷人），于是她就竭尽全力想解决这个问题。
但是，她每次都以失败告终，因为这数字的个数是在太多了！
于是她请天才的你帮他解决。如果你帮她解决了这个问题，可是会得到很多甜头的哦！

【输入格式】
第一行一个整数 N 表示数字的个数。
接下来一行为 N 个数，表示数字序列。
第三行读入一个 M，表示你看完那串数后需要被提问的次数。
接下来 M 行，每行都有两个整数 A,B。

【输出格式】
输出共 M 行，每行输出一个数，表示对一个问题的回答。

【数据范围】
1≤N≤2×10^5,
1≤M≤10^4,
1≤A≤B≤N。

【输入样例】
6
34 1 8 123 3 2
4
1 2
1 5
3 4
2 3

【输出样例】
34
123
123
8

【算法分析】
● ST算法（Sparse Table，稀疏表）：https://blog.csdn.net/hnjzsyjyj/article/details/103429761

● 信息学竞赛中，经常会出现RMQ问题，即求区间最大（小）值问题。那么，我们该如何求解呢？ST算法横空出世。 
ST算法（Sparse Table，稀疏表）主要用于解决区间最值问题（即RMQ问题）。因为ST算法求解RMQ问题时的时间复杂度只有O(nlogn)，查询时间复杂度为常数阶O(1)，所以我们还常称ST算法为TLE的死敌。虽然还可以使用线段树、树状数组、splay等算法求解区间最值问题，但是ST算法比它们更快，更适用于在线查询。
ST算法分成两部分：离线预处理O(nlogn)和在线查询O(1)。
（1）离线预处理：运用DP思想求解区间最值，并将结果保存到一个二维数组中。
（2）在线查询：对给定区间进行分割，并借助上步中的二维数组求最值

● 本题利用了ST算法求解RMQ问题，ST算法分预处理及询问两部分。要理解ST算法，首先要注意下文表述中的移位运算符 >>及<< 的优先级比四则运算 +-*/ 的优先级高。这样就能理解 1<<(j-1) 及 1<1<<(j-1) 等价于 2^(j-1)， 1<。
1. 预处理
ST算法首先约定用 a[1] ~ a[n] 表示给定的一组数，f[i][j]表示从 a[i] ~ a[i+1< 范围内的最大值，也即以 a[i] 为起点的连续 2^j 个数的最大值（∵ a[x] ~ a[y] 包含有 y-x+1 个数）。由于ST算法用到了倍增思想，因此自然有将 2^j 个数从中间平均分成两等分的实践，显然每一部分有 1<<(j-1) 个数，即2^(j-1) 个数。显然，初始范围 a[i] ~ a[i+1< 被等分后，第一部分范围为 a[i] ~a[i+1<<(j-1)-1]，第二部分范围为 a[i+1<<(j-1)] ~ a[i+1<，分别对应于f[i][j-1]和f[i+1<<(j-1)][j-1]。
综上，得 f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1])

#include
using namespace std;
 
const int maxn=2e5+5;
const int maxm=18; //∵log(2e5)<18
int a[maxn];
int f[maxn][maxm]; //f[i][j]表示从i位起的2^j个数中的最大数
 
int main() {
    int n,m,x,y;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1; i<=n; i++) {
        scanf("%d",&a[i]); //数组a的下标从1开始
        f[i][0]=a[i]; //f[i][0]表示[i,i]中的最大值,只能是a[i],故f[i][0]=a[i]
    }
 
    for(int j=1; j<=log2(n); j++)
        for(int i=1; i+(1<-1<=n; i++) //注意i的右端点为i+(1<
            f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]); //预处理
 
    scanf("%d",&m);
    for(int i=1; i<=m; i++) { //查询
        scanf("%d%d",&x,&y);
        int k=log2(y-x+1);
        printf("%d\n",max(f[x][k],f[y-(1<1][k]));
    }
 
    return 0;
}
 
/*
in:
6
34 1 8 123 3 2
4
1 2
1 5
3 4
2 3
out:
34
123
123
8
*/