【线性代数】第五章-线性方程组

本章需要掌握内容

1. 理解线性方程组解的概念.
2. 非齐次线性方程组Ax = b可能有解(唯一解或无穷多解)，亦可能无解，要理解方程组有解的充要条件是秩r(A) = r(Ā).
3. n元齐次方程组Ax = 0 有非零解的判断方法是检查 r(A) ＜ n，或检查行列式 | A | = 0。
   要理解基础解系这一概念，其实它就是解向量的极大线性无关组（一般都能化成单位矩阵？），要掌握基础解系的求法与证明.
4. 要熟悉线性方程组解的性质，掌握解的结构，熟练运用初等行变换求通解(特解、导出组基础解系)。

一. 基本内容与重要结论

1. 线性方程组的定义

1. 非齐次线性方程组、齐次线性方程组

 
2. 一组解与全部解

 

3. 方程组的增广矩阵与系数矩阵

 

4. 方程组的矩阵表示

 

2. 线性方程组的初等变换

1. 初等变换

 

2. 主变量与自由变量的概念（主要用于得出基础解系ing）

 

3. 基础解系

1. 基础解系的特点

 

2. 齐次方程组的通解

注意：基础解系不唯一

 

二. 主要定理

1. 初等行变换可得同解方程组

 

2. 解的情况

1. 情况矛盾
2. 秩r(A) = r(Ā) 有唯一解：每一个参数都有限制
3. r < n 说明有些参数并未限制，有些未知数可以随意写。

 

3. 齐次有解的定理

n阶齐次线性方程组

因为如果秩等于n，化成行阶梯矩阵，只能得到0解，与非零解矛盾。

 

4. (齐次)基础解系的构成ing

 

5. 非齐次有解定理

 

6. 解的性质与结构