【记录 | 线性动态规划】：数字三角形

数字三角形

链接：[USACO1.5] [IOI1994]数字三角形 Number Triangles

题目描述

观察下面的数字金字塔。

写一个程序来查找从最高点到底部任意处结束的路径，使路径经过数字的和最大。每一步可以走到左下方的点也可以到达右下方的点。

在上面的样例中，从 $7\to 3\to 8\to 7\to 5$ 的路径产生了最大权值。

输入格式

第一个行一个正整数 $r$ ,表示行的数目。

后面每行为这个数字金字塔特定行包含的整数。

输出格式

单独的一行,包含那个可能得到的最大的和。

样例 #1

样例输入 #1

5
7
3 8
8 1 0
2 7 4 4
4 5 2 6 5
1
2
3
4
5
6

样例输出 #1

30
1

提示

【数据范围】
对于 $100\%$ 的数据，$1\le r\le 1000$，所有输入在 $[0,100]$ 范围内。

题目翻译来自NOCOW。

USACO Training Section 1.5

IOI1994 Day1T1

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参考代码

这道题就是很裸的DP，也是很经典的入门题。我们先用记忆化搜索写一遍，再来写DP。

（1）记忆化搜索

我们首先读取金字塔的行数 r 和每行的数字，并存储在二维数组 triangle 中。然后，我们使用记忆化搜索的深度优先搜索函数 dfs 来计算从金字塔顶部到底部的最大路径和。

在 dfs 函数中，如果已经计算过当前位置到底部的最大路径和，我们直接返回结果；如果已经到达最后一行，我们返回当前值；否则，我们返回从当前位置到底部的最大路径和，并将结果存储在记忆化搜索数组 memo 中，以便后续使用。

最后，我们输出最大路径和。

import java.io.BufferedReader;
import java.io.IOException;
import java.io.InputStreamReader;
import java.io.OutputStreamWriter;
import java.io.PrintWriter;
import java.io.Strea
1
2
3
4
5