What is the difference between Parseval‘s theorem and Plancherel Theorem

Plancherel定理是调和分析里的一个结论, 最早由Michel Plancherel证明, 其可表述为
对同时属于$L^1(R)$ 和 $L^2(R)$ 的函数f来说,其傅立叶变换F属于$L^2(R)$ ,且傅立叶变换是等距变换.数学表述为：

$\Vert \hat{f}{\Vert }^2={\int }_{-\infty }^{\infty }{f}^2(t)dt,$

它指出一个函数的$L^2$范数等于其傅里叶频谱的$L^2$范数。更精确地表述为，如果一个函数同时属于$L^1$空间和$L^2$空间，那么其傅里叶变换属于$L^2$空间，且傅里叶变换对$L^2$范数是等距映射。这表明限制在$L^1$∩$L^2$上的傅里叶变换可以扩展为一个唯一的等距映射$L^2$→$L^2$，该映射实际上为一个酉映射。
傅里叶变换的酉性在科学和工程领域中通常称为帕萨瓦尔定理（ Parseval’s theorem）。

在数学上，帕塞瓦尔定理经常指"0黑吐转换是幺正篡符"这…结论;简而言之，就是说函数平方的和(或积分）等于其傅里叶转换式平方之和(或者积分）。这个定理产生于Marc-Antoine Parseval在1799年所得到的一个有关级数的定理，该定理随后被应用于傅里叶级数。它也被称为瑞利能量定理或瑞利恒等式，以物理学家约翰·斯特拉特，第三代瑞利男爵命名。

See https://dsp.stackexchange.com/questions/87977/what-is-the-exact-difference-between-parsevals-theorem-and-plancherel-theorem#:~:text=In%20sum%2C%20more%20often%20than%20not%20Plancherel%27s%20Theorem,of%20view%2C%20as%20seems%20appropriate%20for%20this%20site.

See https://www.princeton.edu/~cuff/ele301/files/lecture8_2.pdf