线性代数基础-矩阵

八、矩阵的基础概念

1.矩阵

我们忘掉之前行列式的一切，列一种全新的数表，虽然长得很像，但是大不相同，首先一个区别就是矩阵不能展开成一个值，这里不讨论矩阵的空间意义
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n

⎩ ⎨ ⎧​a11​x1​+a12​x2​+a13​x3​+...+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+a23​x3​+...+a2n​xn​=b2​...an1​x1​+an2​x2​+an3​x3​+...+ann​xn​=bn​​

2.实矩阵、复矩阵

如果矩阵里全是实数，则是实矩阵，而元素是复数，是复矩阵

3.矩阵相等

行数列数相同，所有元素一一对应相等，记作
$A=B$

4.零矩阵

所有元素全为0，记作
$O_{m\ast n}或O$

5.负矩阵

$对于A_{m\ast n}，它的负矩阵是-A,相当于矩阵内每个元素乘(-1)$

A 3 ∗ 3 = ( a 0 0 0 a 0 0 0 a ) A_{3*3} =

A3∗3​= ​a00​0a0​00a​ ​

− A 3 ∗ 3 = ( − a 0 0 0 − a 0 0 0 − a ) -A_{3*3} =

−A3∗3​= ​−a00​0−a0​00−a​ ​

6.n阶方阵

矩阵不一定是方的，但是如果是方的就叫方阵，行数或者列数就是阶数

7.三角矩阵，对角矩阵

要求是方阵
上三角，下三角矩阵与上三角下三角行列式定义相同，可以类比
对角矩阵也与行列式相同
A 3 ∗ 3 = ( a b b 0 a b 0 0 a ) A_{3*3} =

A3∗3​= ​a00​ba0​bba​ ​

8.数量矩阵

前提是对角矩阵
主对角线全等于同一个常数a
A 3 ∗ 3 = ( a 0 0 0 a 0 0 0 a ) A_{3*3} =

A3∗3​= ​a00​0a0​00a​ ​

9.n阶单位矩阵

主对角线值全为1的矩阵
A 3 ∗ 3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) A_{3*3} =

A3∗3​= ​100​010​001​ ​

10.行矩阵、列矩阵

只有一行或者一列的矩阵
也可以叫行向量，列向量

九、矩阵的线性运算

矩阵的加法和数乘统称为矩阵的线性运算

1.矩阵加法

A_{3*3} =

B_{3*3} =

A_{33} + B_{33} =

2.交换率

$A+B=B+A$

3.结合率

$（A+B）+C=A+（B+C）$

4.特殊运算

$$\begin{gathered} A+O=A \\ A+(-A)=O \end{gathered}$$

5.数量乘法

A m ∗ n = ( a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n . . . . . . . . . . . . . . . a n 1 a n 2 . . . . . . a n n ) A_{m*n} =

Am∗n​= ​a11​a21​...an1​​a12​a22​...an2​​a13​a23​......​............​a1n​a2n​...ann​​ ​

λ ∗ A m ∗ n = ( λ a 11 λ a 12 . . . λ a 1 n λ a 21 λ a 22 . . . λ a 2 n . . . . . . . . . . . . λ a n 1 λ a n 2 . . . λ a n n ) \lambda *A_{m*n} =

λ∗Am∗n​= ​λa11​λa21​...λan1​​λa12​λa22​...λan2​​............​λa1n​λa2n​...λann​​ ​

十、矩阵的乘法

对于每个矩阵乘法，一定有以下规则
$Ai\ast k\ast Bk\ast j=Ci\ast j$
矩阵乘法的前提是A矩阵的列数，必须等于B的行数，得到新矩阵的行数为A的行数，列数为B的列数。

1.现实记忆法(多存在于国内教材)

把A矩阵的四个行比作四个班级，每一行分别是对三种产品的需求数量
而B矩阵的每一列，他们认为是不同的商家，列中的元素正好是价格

A 4 ∗ 3 = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 ) ( 每行存储的是每个班级对几种产品的需求数量 ) A_{4*3} =

(每行存储的是每个班级对几种产品的需求数量) A4∗3​= ​a11​a21​a31​a41​​a12​a22​a32​a42​​a13​a23​a33​a43​​ ​(每行存储的是每个班级对几种产品的需求数量)

B 3 ∗ 2 = ( b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 ) ( 每列存储的是每个商家几种产品的价格 ) B_{3*2} =

(每列存储的是每个商家几种产品的价格) B3∗2​= ​b11​b21​b31​​b12​b22​b32​​ ​(每列存储的是每个商家几种产品的价格)

C 4 ∗ 2 = A 4 ∗ 3 ∗ B 3 ∗ 2 = ( a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 a 41 a 42 a 43 ) ∗ ( b 11 b 12 b 21 b 22 b 31 b 32 ) C_{4*2} = A_{4*3} * B_{3*2} =

* C4∗2​=A4∗3​∗B3∗2​= ​a11​a21​a31​a41​​a12​a22​a32​a42​​a13​a23​a33​a43​​ ​∗ ​b11​b21​b31​​b12​b22​b32​​ ​
得到的是一个每个班级在每个商家购买完所需商品的总花销表
C 4 ∗ 2 = ( a 11 ∗ b 11 + a 12 ∗ b 21 + a 13 ∗ b 31 a 11 ∗ b 12 + a 12 ∗ b 22 + a 13 ∗ b 32 a 21 ∗ b 11 + a 22 ∗ b 21 + a 23 ∗ b 31 a 21 ∗ b 12 + a 22 ∗ b 22 + a 23 ∗ b 32 a 31 ∗ b 11 + a 32 ∗ b 21 + a 33 ∗ b 31 a 31 ∗ b 12 + a 32 ∗ b 22 + a 33 ∗ b 32 a 41 ∗ b 11 + a 42 ∗ b 21 + a 43 ∗ b 31 a 41 ∗ b 12 + a 42 ∗ b 22 + a 43 ∗ b 32 ) C_{4*2} =

(a11∗b11+a12∗b21+a13∗b31a11∗b12+a12∗b22+a13∗b32a21∗b11+a22∗b21+a23∗b31a21∗b12+a22∗b22+a23∗b32a31∗b11+a32∗b21+a33∗b31a31∗b12+a32∗b22+a33∗b32a41∗b11+a42∗b21+a43∗b31a41∗b12+a42∗b22+a43∗b32)" role="presentation">⎛⎝⎜⎜⎜a11∗b11+a12∗b21+a13∗b31a21∗b11+a22∗b21+a23∗b31a31∗b11+a32∗b21+a33∗b31a41∗b11+a42∗b21+a43∗b31a11∗b12+a12∗b22+a13∗b32a21∗b12+a22∗b22+a23∗b32a31∗b12+a32∗b22+a33∗b32a41∗b12+a42∗b22+a43∗b32⎞⎠⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{cc}{a}_{11}\ast b_{11}+a_{12}\ast b_{21}+a_{13}\ast b_{31}& a_{11}\ast b_{12}+a_{12}\ast b_{22}+a_{13}\ast b_{32}\\ a_{21}\ast b_{11}+a_{22}\ast b_{21}+a_{23}\ast b_{31}& a_{21}\ast b_{12}+a_{22}\ast b_{22}+a_{23}\ast b_{32}\\ a_{31}\ast b_{11}+a_{32}\ast b_{21}+a_{33}\ast b_{31}& a_{31}\ast b_{12}+a_{32}\ast b_{22}+a_{33}\ast b_{32}\\ a_{41}\ast b_{11}+a_{42}\ast b_{21}+a_{43}\ast b_{31}& a_{41}\ast b_{12}+a_{42}\ast b_{22}+a_{43}\ast b_{32}\end{array}\right)$$

C4∗2​= ​a11​∗b11​+a12​∗b21​+a13​∗b31​a21​∗b11​+a22​∗b21​+a23​∗b31​a31​∗b11​+a32​∗b21​+a33​∗b31​a41​∗b11​+a42​∗b21​+a43​∗b31​​a11​∗b12​+a12​∗b22​+a13​∗b32​a21​∗b12​+a22​∗b22​+a23​∗b32​a31​∗b12​+a32​∗b22​+a33​∗b32​a41​∗b12​+a42​∗b22​+a43​∗b32​​ ​

公式比较复杂，相当于这个过程

• A的第一行分别对应乘B的第一列，写到C的第一列
• A的第二行分别对应乘B的第一列，写到C的第一列
• A的第三行分别对应乘B的第一列，写到C的第一列
• A的第四行分别对应乘B的第一列，写到C的第一列

---

• A的第一行分别对应乘B的第二列，写到C的第二列
• A的第二行分别对应乘B的第二列，写到C的第二列
• A的第三行分别对应乘B的第二列，写到C的第二列
• A的第四行分别对应乘B的第二列，写到C的第二列

1. 需要注意乘法的前提条件：A的列数 = B的行数
2. AB是A左乘B，也可以是B右乘A，AB与BA结果不同

2.另一种记忆方法

我们以更简单的矩阵举例：
A 2 ∗ 2 = ( 1 2 2 3 ) A_{2*2} =

A2∗2​=(12​23​)

B 2 ∗ 1 = ( 1 2 ) B_{2*1} =

B2∗1​=(12​)

很容易得出

C 2 ∗ 1 = A 2 ∗ 2 ∗ B 2 ∗ 1 = ( 1 ∗ 1 + 2 ∗ 2 2 ∗ 1 + 3 ∗ 2 ) = ( 5 8 ) C_{2*1} =A_{2*2} *B_{2*1}=

= C2∗1​=A2∗2​∗B2∗1​=(1∗1+2∗22∗1+3∗2​)=(58​)
可以理解为这样的一个操作，A第一列*B第一行 + A第二列 * B第二行
$C_{2\ast 1}=A_{i1}\ast B_{1j}+A_{i2}\ast B_{2j}$

我们拓展到更高阶的矩阵
A 3 ∗ 3 = ( 1 2 3 2 3 4 1 4 6 ) A_{3*3} =

A3∗3​= ​121​234​346​ ​

B 3 ∗ 2 = ( 2 2 1 3 1 2 ) B_{3*2} =

B3∗2​= ​211​232​ ​

C 3 ∗ 2 = ( 1 2 3 2 3 4 1 4 6 ) ∗ ( 2 2 1 3 1 2 ) C_{3*2} =

* C3∗2​= ​121​234​346​ ​∗ ​211​232​ ​

C 3 ∗ 2 = ( 1 2 1 ) ∗ ( 2 2 ) + ( 2 3 4 ) ∗ ( 1 3 ) + ( 3 4 6 ) ∗ ( 1 2 ) C_{3*2} =

*+*+* C3∗2​= ​121​ ​∗(2​2​)+ ​234​ ​∗(1​3​)+ ​346​ ​∗(1​2​)

C 3 ∗ 2 = ( 2 2 4 4 2 2 ) + ( 2 6 3 9 4 12 ) + ( 3 6 4 8 6 12 ) = ( 7 14 11 21 12 26 ) C_{3*2} =

+ + = C3∗2​= ​242​242​ ​+ ​234​6912​ ​+ ​346​6812​ ​= ​71112​142126​ ​

$C_{3\ast 2}=A_{i1}\ast B_{1j}+A_{i2}\ast B_{2j}+A_{i3}\ast B_{3j}$

可以浅显的理解为A的第x列 * B的第x行 的累加求和

对于矩阵内每个元素：都有计算公式

十一、矩阵乘法的运算性质

1.结合律

$A(BC)=(AB)C$

2.分配律

$$\begin{gathered} A(B+C)=AB+AC \\ \lambda (AB)=A(\lambda B)=(\lambda A)B \end{gathered}$$

3.与单位阵的运算

$E_m\ast A_{m\ast n}=A_{m\ast n}\ast E_n=A_{m\ast n}$

4.可交换

$$\begin{gathered} 一般情况下AB\cancel{=}BA \\ 如果AB=BA，则称A与B可换 \end{gathered}$$

5.转置矩阵

同行列式转置几乎一致(参考行列式转置)，记作
$A^T或A^{\prime }$
转置之后的矩阵和原矩阵不相等，这里与行列式有差别,有如下性质

$$\begin{gathered} (A^T{)}^T=A \\ (A+B{)}^T=A^T+B^T \\ (\lambda A{)}^T=\lambda A^T \\ (AB{)}^T=B^T{A}^T \end{gathered}$$

6.对称矩阵

条件：

• A是n阶方阵
• A的转置 = A

性质：

$A是对称矩阵，则k倍的A也是对称矩阵A，B均是对称矩阵，A+B,A-B也是对称矩阵A,B是对称矩阵，AB=BA，AB也是对称矩阵$

7.反对称矩阵

$A^T=-A$
性质：主对角线元素全为0

8.n阶方阵的特殊运算

A是N阶方阵，有如下运算

$$\begin{gathered} A^0=E_n \\ {A}^n=AA...A（k个A） \\ {A}^k{A}^l=A^{k+l} \\ (A^k{)}^l=A^{kl} \\ {E}^k=E \end{gathered}$$

对于N阶方阵A，B

$$\begin{gathered} （AB{）}^k\cancel{=}{A}^k{B}^k \\ (A+B{)}^2\cancel{=}{A}^2+2AB+B^2 \end{gathered}$$

十二、矩阵与行列式

• 只有n阶方阵才有相应行列式，否则没有
• A的行列式记作

$|A|或detA$

性质：设A为n阶方阵

$$\begin{gathered} |A^T|=|A| \\ |\lambda A|={\lambda }^n|A| \\ |AB|=|A||B| \end{gathered}$$

解释：

1. 因为行列式的转置和原来相等，那么转置矩阵变成行列式还是跟原来相等
2. 矩阵乘一个常数是所有元素都乘常数，但是行列式乘常数只能乘进一行
3. 可以通过数学归纳或者拉普拉斯公式证明

十三、逆矩阵、伴随矩阵、奇异矩阵

1.逆矩阵

$A\ast B=B\ast A=E_n$
则称B为A的逆矩阵，简称逆阵，记作
$B=A^{-1}$
有如下的性质

$A\ast A^{-1}=A^{-1}\ast A=E_n$

$$\begin{gathered} (A^{-1}{)}^{-1}=A \\ A可逆，A^T也可逆，(A^T{)}^{-1}=(A^{-1}{)}^T \\ A可逆且k\cancel{=}0,则kA可逆,(kA{)}^{-1}=\frac{1}{k}{A}^{-1} \\ A,B同阶且可逆，则AB也可逆，（AB{）}^{-1}=B^{-1}{A}^{-1}(可推广到n个) \\ 若A可逆,|A^{-1}|=|A{|}^{-1} \end{gathered}$$

2.奇异矩阵与非奇异矩阵

奇异矩阵也叫退化矩阵，非奇异矩阵才可逆,奇异矩阵不可逆
$$\begin{gathered} |A|\ne 0非奇异矩阵 \\ |A|=0奇异矩阵 \end{gathered}$$

3.伴随矩阵

A 3 ∗ 3 = ( 1 2 3 2 2 1 3 4 3 ) A_{3*3} =

A3∗3​= ​123​224​313​ ​
还记得代数余子式吗，划掉所在行列的行列式，乘-1^(i+j)
Astar就等于对每个矩阵的位置求一个代数余子式的值，然后放在矩阵的同位置

4.伴随矩阵求逆矩阵

充要条件：
$|A|\ne 0，A^{-1}=\frac{1}{|A|}{A}^{\ast }$

推论：
$AB=E，则A，B互为逆$

十四、矩阵的初等变换

1.初等变换

我们还是把矩阵想象为方程组，方程组能干的，矩阵就能这么做

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n

⎩ ⎨ ⎧​a11​x1​+a12​x2​+a13​x3​+...+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+a23​x3​+...+a2n​xn​=b2​...an1​x1​+an2​x2​+an3​x3​+...+ann​xn​=bn​​

下面三种方式叫做初等行变换

1. 交换任意两行
2. 任意一行乘k
3. 某一行乘k加到另一行

行换成列，就是初等列变换，统称初等变换

2.矩阵等价

若A可以经过若干次初等变换到B，则称A与B等价，记作 A~B

• 具备传递性，A~B ，B~C ，则A~C
• 具备对称性 A~B ，B~A
• 具备反身性，A~A

3.行阶梯矩阵

A 4 ∗ 4 = ( 1 2 3 3 0̸ 3 4 5 0̸ 0̸ 2 1 0̸ 0̸ 0̸ 0̸ ) A_{4*4} =

A4∗4​= ​1000​2300​3420​3510​ ​
如果一个矩阵的零行都位于非零行下方，并且每个非零行左起第一个非零元素的列数由上而下严格递增，则称该矩阵为行阶梯矩阵
最简行阶梯矩阵：对于一个行阶梯矩阵，如果每行左起第一个非零元素元素都是1，并且这些1所在的列其他元素都是0，则称最简行阶梯矩阵（行最简形矩阵）
A 4 ∗ 4 = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 ) A_{4*4} =

(1000010000130000)" role="presentation">⎛⎝⎜⎜⎜1000010000100030⎞⎠⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 3\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

A4∗4​= ​1000​0100​0010​0030​ ​
再对A进行初等列变换，得到A的标准型
A 4 ∗ 4 = ( 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 ) A_{4*4} =

(1000010000100000)" role="presentation">⎛⎝⎜⎜⎜1000010000100000⎞⎠⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{cccc}1& 0& 0& 0\\ 0& 1& 0& 0\\ 0& 0& 1& 0\\ 0& 0& 0& 0\end{array}\right)$$

A4∗4​= ​1000​0100​0010​0000​ ​

定义m，n，r，其中mn为行数列数
而该标准型左上角的单位阵可以由r确定，所以三个数就可以表示出标准型
E r = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) E_r =

Er​= ​100​010​001​ ​
所有与A等价的矩阵组成一个等价类，标准型是这个类中最简单的矩阵

十五、初等矩阵与步骤记录

1.定理

定义：由单位阵E经过一次初等变换形成的矩阵，叫做初等矩阵

定理2：

• 对A(m*n)进行一次初等行变换，相当于在A左侧乘相应的m阶初等矩阵

• 对A(m*n)进行一次初等列变换，相当于在A右侧乘相应的n阶初等矩阵

因为这个定理，我们可以只需要记录下来从A到E变换过程的所有初等矩阵，再对E来一遍，就可以求出A的逆矩阵

2.初等变换法求逆矩阵：

A 3 ∗ 3 = ( 1 1 − 1 3 2 − 2 5 − 2 1 ) A_{3*3} =

A3∗3​= ​135​12−2​−1−21​ ​

= > ( 1 1 − 1 ∣ 1 0 0 3 2 − 2 ∣ 0 1 0 5 − 2 1 ∣ 0 0 1 ) =>

=> ​135​12−2​−1−21​∣∣∣​100​010​001​ ​

= > ( 1 0 0 ∣ − 2 1 0 0 1 0 ∣ − 13 6 − 1 0 0 1 ∣ − 16 7 − 1 ) =>

=> ​100​010​001​∣∣∣​−2−13−16​167​0−1−1​ ​

3.初等矩阵的性质

性质：

• 初等矩阵都可逆，逆矩阵仍是初等矩阵
• 初等矩阵的转置还是初等矩阵

十六、矩阵的秩

1.k阶子式

在矩阵A中，任取K个行K个列，交叉处的元素不改变相对位置形成的新的k阶行列式

2.矩阵的秩

• 有一个不等于0的 r 阶子式
• 所有 r+1 阶子式等于0
  满足这两个条件的子式叫做最高阶非零子式，r称为矩阵的秩

性质：

$$\begin{gathered} R（A）=R(A^T)=R(kA)(常数k\ne 0) \\ 存在x阶子式不为0，R(A)>=s \\ 所有t阶子式为0，R(A)<t \\ A为n阶方阵，A为奇异矩阵的充要条件R(A)=n \end{gathered}$$

3.满秩矩阵、降秩矩阵

R(A) = min(m , n) 称为满秩矩阵，否则为降秩矩阵

4.求矩阵的秩

1. 按定义
2. 初等行变换到行阶梯矩阵，非零行的个数为R的值

5.矩阵秩的性质

A为mn阶矩阵，B为nk阶矩阵

(1).性质1

C ( m + k ) ∗ ( n + l ） = ( A O O B ) C_{(m+k)*(n+l）} =

C(m+k)∗(n+l）​=(AO​OB​)
$R(C)=R(A)+R(B)$

(2).性质2

C ( m + k ) ∗ ( n + l ） = ( A O C B ) C_{(m+k)*(n+l）} =

C(m+k)∗(n+l）​=(AC​OB​)
Q ( m + k ) ∗ ( n + l ） = ( A D O B ) Q_{(m+k)*(n+l）} =

(ADOB)" role="presentation">(AODB)$$\left(\begin{array}{cc}A& D\\ O& B\end{array}\right)$$

Q(m+k)∗(n+l）​=(AO​DB​)
$$\begin{gathered} R(C)>=R(A)+R(B) \\ R(Q)>=R(A)+R(B) \end{gathered}$$

(3).性质3

$R（A）+R（B）<=R(A+B)$

(4).性质4

R ( A B ) < = m i n { R ( A ) , R ( b ) } R(AB)<=min\{R(A),R(b)\} R(AB)<=min{R(A),R(b)}

(5).性质5

$R(A)+R(B)-n<=R(AB)$

(6).性质6

$AB=O,R（A）+R（B）<n$

十七、分块矩阵

分块矩阵就是随意切成n块，然后再算
它把子矩阵作为元素，运算性质和矩阵相同

分块对角矩阵：若$A_i$都是方阵，则A称为对角分块矩阵
A 3 ∗ 3 = ( A 1 A 2 . . . A s ) A_{3*3} =

A3∗3​= ​A1​​A2​​...​As​​ ​

尽量选择良好的分块，可以提高效率
A 3 ∗ 3 = ( 9 0 0 0 2 1 0 0 0 0 3 4 0 0 0 2 ) = ( 9 0 ∣ 0 0 2 1 ∣ 0 0 − − − − − 0 0 ∣ 3 4 0 0 ∣ 0 2 ) A_{3*3} =

= A3∗3​= ​9200​0100​0030​0042​ ​= ​92−00​01−00​∣∣−∣∣​00−30​00−42​ ​

十八、线性方程组

1.非齐次线性方程组

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n

⎩ ⎨ ⎧​a11​x1​+a12​x2​+a13​x3​+...+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+a23​x3​+...+a2n​xn​=b2​...an1​x1​+an2​x2​+an3​x3​+...+ann​xn​=bn​​

2.齐次线性方程组

{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = 0 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = 0 . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = 0

⎩ ⎨ ⎧​a11​x1​+a12​x2​+a13​x3​+...+a1n​xn​=0a21​x1​+a22​x2​+a23​x3​+...+a2n​xn​=0...an1​x1​+an2​x2​+an3​x3​+...+ann​xn​=0​
简单来看就是b全是0的非齐次

3.系数矩阵与增广矩阵

$$\begin{gathered} Ax=b \\ x称为未知数向量，b为常数项向量 \end{gathered}$$
有一个方程组，如下
{ a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + . . . + a 1 n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3 + . . . + a 2 n x n = b 2 . . . a n 1 x 1 + a n 2 x 2 + a n 3 x 3 + . . . + a n n x n = b n

⎩ ⎨ ⎧​a11​x1​+a12​x2​+a13​x3​+...+a1n​xn​=b1​a21​x1​+a22​x2​+a23​x3​+...+a2n​xn​=b2​...an1​x1​+an2​x2​+an3​x3​+...+ann​xn​=bn​​
该方程组的系数矩阵为：
A m ∗ n = ( a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n a 31 a 32 a 33 . . . a 3 n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ( n − 1 ) n a n 1 a n 2 . . . a n ( n − 1 ) a n n ) A_{m*n} =

(a11a12a13...a1na21a22a23...a2na31a32a33...a3n...........................a(n−1)nan1an2...an(n−1)ann)" role="presentation">⎛⎝⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜a11a21a31......an1a12a22a32......an2a13a23a33........................an(n−1)a1na2na3n...a(n−1)nann⎞⎠⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟$$\left(\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& ...& a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& ...& a_{2n}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& ...& a_{3n}\\ ...& ...& ...& ...& ...\\ ...& ...& ...& ...& a_{(n-1)n}\\ a_{n1}& a_{n2}& ...& a_{n(n-1)}& a_{nn}\end{array}\right)$$

Am∗n​= ​a11​a21​a31​......an1​​a12​a22​a32​......an2​​a13​a23​a33​.........​...............an(n−1)​​a1n​a2n​a3n​...a(n−1)n​ann​​ ​

该方程组的增广矩阵为：
A ~ m ∗ n = ( a 11 a 12 a 13 . . . a 1 n b 1 a 21 a 22 a 23 . . . a 2 n b 2 a 31 a 32 a 33 . . . a 3 n b 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ( n − 1 ) n b n − 1 a n 1 a n 2 . . . a n ( n − 1 ) a n n b n ) \widetilde{A}_{m*n} =

A m∗n​= ​a11​a21​a31​......an1​​a12​a22​a32​......an2​​a13​a23​a33​.........​...............an(n−1)​​a1n​a2n​a3n​...a(n−1)n​ann​​b1​b2​b3​bn−1​bn​​ ​

4.线性方程组的解

满足线性方程组的一组数x1 =k1,x2 = k2…，叫做线性方程组的解或者特解
写成向量形式,叫做线性方程组的解向量，记作
$x=(k_1,k_2,...k_n{)}^T$

全体解向量的集合叫做解集，求解集的过程叫解线性方程组
如果两个线性方程组结集相同，称他们为同解线性方程组
表达线性方程组全部解的表达式，称为通解

5.高斯消元法解线性方程组

求解非齐次线性方程组 { x 1 − 2 x 2 + 3 x 3 − x 4 = 1 3 x 1 − x 2 + 5 x 3 − 3 x 4 = 2 2 x 1 + x 2 + 2 x 3 − 2 x 4 = 3 求解非齐次线性方程组

求解非齐次线性方程组⎩ ⎨ ⎧​x1​−2x2​+3x3​−x4​=13x1​−x2​+5x3​−3x4​=22x1​+x2​+2x3​−2x4​=3​

A ~ = ( 1 − 2 3 − 1 ∣ 1 3 − 1 5 − 3 ∣ − 1 2 1 2 − 2 ∣ − 2 ) = > ( 1 − 2 3 − 1 ∣ 1 0 5 − 4 0 ∣ − 1 0 0 0 0 ∣ − 2 ) = B ~ \widetilde A =

= > = \widetilde B A = ​132​−2−11​352​−1−3−2​∣∣∣​1−1−2​ ​=> ​100​−250​3−40​−100​∣∣∣​1−1−2​ ​=B

{ x 1 = 1 + 2 x 2 − 3 x 3 + x 4 x 2 = （ 2 + 4 x 3 ） / 5 0 = − 2

⎩ ⎨ ⎧​x1​=1+2x2​−3x3​+x4​x2​=（2+4x3​）/50=−2​

显然第三个方程矛盾，该方程组无解
步骤如下：

• 写出增广矩阵
• 初等行变换为行阶梯矩阵
• 取每行首个非零元素对应x作为因变量

6.线性方程组解与秩的关系

(1)对于齐次/非齐次方程组

$$\begin{gathered} R（A）<R（\tilde{A}）=>无解 \\ R（A）=R=n（\tilde{A}）=>有唯一解 \\ R（A）=R<n（\tilde{A}）=>有无穷多解 \end{gathered}$$

(2)对于齐次方程组

$$\begin{gathered} R(A)=n=>有唯一解，只有零解 \\ R(A)<n=>有无穷多解，有非零解 \end{gathered}$$

当齐次方程组的系数矩阵为方阵时，行列式为0说明R(A)

1. 任何方阵都可以通过初等行变换转化为上三角阵.
2. 当且仅当主对角线上的元素中有0，上三角阵的行列式为0.
3. n阶上三角阵（行阶梯矩阵）的秩 = n － 主对角线上0的个数.

十九、向量与线性

1.向量

只有一行的矩阵称为行向量，一列的矩阵称为列向量
α = ( 1 2 3 ) , β = ( 1 2 3 ) \alpha =

(123)" role="presentation">⎛⎝⎜123⎞⎠⎟$$\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right)$$

,\beta =

(123)" role="presentation">(123)$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\end{array}\right)$$

α= ​123​ ​,β=(1​2​3​)
元素个数n称为维数，而第i个元素称为向量的第i个分量

2.向量组

若干个同维的列(行)向量所组成的集合称为向量组
$A_{n\ast m}=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...{\alpha }_m)$

3.线性组合

$$\begin{gathered} 对于A_{n\ast m}=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...{\alpha }_m)，实数(k_1,k_2...k_m) \\ {k}_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m称为向量组A的线性组合 \\ (k_1,k_2...k_m)称为这个向量组的系数 \end{gathered}$$

简单来说，就是把里面的向量随便乘一堆非线性的常量系数加一起，就是线性组合

4.线性表示

如果A的通过线性组合，能表示出β，我们称β是向量组A的线性组合，或者β可以被A线性表示
如果有A，B两个向量组，B中每个向量都能被A线性表示，称向量组B可以被A线性表示
若A，B可以相互线性表示，则记作A~B，AB等价

$$\begin{gathered} \beta 可以被A线性表示<=>R(A)=R(A\beta )=m \\ B可以被A表示<=>R(AB)=R(A)=>R(A)>=R(B) \\ A等价于B<=>R(A)=R(B)=R(AB) \end{gathered}$$

5.线性相关

$$\begin{gathered} 对于A_{n\ast m}=({\alpha }_1,{\alpha }_2,...{\alpha }_m)，存在实数(k_1,k_2...k_m) \\ 使k_1{\alpha }_1+k_2{\alpha }_2+...+k_m{\alpha }_m=0 \\ 则称A线性相关，否则称A线性无关 \end{gathered}$$

对于向量组$A$而言
$$\begin{gathered} A线性无关<=>R(A)=m \\ A线性相关<=>R(A)<m \end{gathered}$$

• 推论：m个n维向量组成向量组，n

• 推论：包含零向量的向量组一定线性相关

  • 注意：若向量组只有一个向量，向量线性相关的充要条件是这个向量为0向量
  • 注意：若向量组只有两个向量，线性相关的充要条件是共线，三个共面

• 定理6：若A中至少有一个向量可以由其他向量表示<=>A线性相关

• 定理7：A线性无关，而向量组（A β）线性相关，则β可以被A唯一表示

• 定理8：A中有部分向量线性相关，则A线性相关，A线性无关，任意部分向量线性无关

• 定理9：若A能被B线性表示，且A的向量数量比B多，A线性相关

  • 推论：A可由B线性表示，A线性无关，则A的元素数不多于B

6.极大无关组

（1）定义：

在向量组A中，能找出r个向量，满足

• r个向量线性无关
• 任意r+1个向量线性相关

简单理解就是找一组元素数量最多的线性无关的向量，能表示A中任意向量，我们称这个向量组为$A_0$

$A_0$就是向量组A的一个最大的无关向量组，称极大无关组，向量个数r称为向量组A的秩
注意：

• 只含零向量的向量组没用极大无关组，规定秩为0

• 线性无关向量组的极大无关组是本身

• 一般向量组的极大无关组不唯一，元素个数相等，相互等价

• 定理10：向量组与它的极大无关组等价

• 定理11：若A中存在r阶子式不等于0，则这个子式所在r个列向量线性无关
  若所有r阶子式为0，则任意r个向量线性相关

• 定理12：向量组的秩等于向量组组成的矩阵的秩，某个r阶子式非零，则这个子式所在r个列向量是A的极大无关组

二十、方程组解的结构

1.齐次方程

性质：$\beta 1，\beta 2$ 是$Ax=0$的两个解，那么$k1\beta 1+k2\beta 2$也是它的解
定义：
若$\beta 1，\beta 2，...\beta n$线性无关
Ax=0的任意解可以被$\beta 1，\beta 2，...\beta n$表示出来
我们称$\beta 1，\beta 2，...\beta n$为$Ax=0$的基础解系
定理13：
如果齐次方程有非零解，一定有基础解系，且基础解系解向量个数=n-r
r为系数矩阵A的秩，n为未知量个数，n-r是自由未知量个数
通解$x=k1+\beta 1+k2\beta 2+...+kn\beta n$

2.非齐次方程

性质2：β1 ，β2 是$Ax=b$的两个解，那么β1 - β2是Ax=0的解
性质3： η是$Ax=b$的解，β是$Ax=0$的解，则$\eta +\beta$是$Ax=b$的解
定理14：若$\eta \ast$ 是$Ax=b$的一个特解，$Ax=0$的基础解为$\beta 1，...\beta n-r$
则通解 $x=\eta \ast +\beta 1+\beta n-r$