LeetCode刷题复盘笔记—一文搞懂343. 整数拆分（动态规划系列第四篇）

今日主要总结一下动态规划的一道题目，343. 整数拆分

题目：343. 整数拆分

题目描述：
给定一个正整数 n ，将其拆分为 k 个 正整数 的和（ k >= 2 ），并使这些整数的乘积最大化。

返回 你可以获得的最大乘积 。

示例 1:

输入: n = 2
输出: 1
解释: 2 = 1 + 1, 1 × 1 = 1。
示例 2:

输入: n = 10
输出: 36
解释: 10 = 3 + 3 + 4, 3 × 3 × 4 = 36。

提示:

2 <= n <= 58
通过次数215,667提交次数346,838

本题重难点

还是动规五部曲，分析如下：

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
   dp[i]：拆分数字i，可以得到的最大乘积为dp[i]。
   dp[i]的定义讲贯彻整个解题过程，下面哪一步想不懂了，就想想dp[i]究竟表示的是啥！

2. 确定递推公式
   可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢？
   其实可以从1遍历j，然后有两种渠道得到dp[i].
   一个是j * (i - j) 直接相乘。
   一个是j * dp[i - j]，相当于是拆分(i - j)，对这个拆分不理解的话，可以回想dp数组的定义。
   那有同学问了，j怎么就不拆分呢？
   j是从1开始遍历，拆分j的情况，在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j，比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。
   最终递推公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
   也可以这么理解，j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘，而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
   如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
   所以递推公式：dp[i] = max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
   那么在取最大值的时候，为什么还要比较dp[i]呢？
   因为在递推公式推导的过程中，每次计算dp[i]，取最大的而已。

3. dp的初始化
   不少同学应该疑惑，dp[0] dp[1]应该初始化多少呢？
   有的题解里会给出dp[0] = 1，dp[1] = 1的初始化，但解释比较牵强，主要还是因为这么初始化可以把题目过了。
   严格从dp[i]的定义来说，dp[0] dp[1] 就不应该初始化，也就是没有意义的数值。
   拆分0和拆分1的最大乘积是多少？
   这是无解的。
   这里我只初始化dp[2] = 1，从dp[i]的定义来说，拆分数字2，得到的最大乘积是1，这个没有任何异议！

4. 确定遍历顺序
   确定遍历顺序，先来看看递归公式：dp[i] = max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
   dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态，所以遍历i一定是从前向后遍历，先有dp[i - j]再有dp[i]。
   枚举j的时候，是从1开始的。i是从3开始，这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。

5. 举例推导dp数组

举例当n为10 的时候，dp数组里的数值，如下：

C++代码

class Solution {
public:
    int integerBreak(int n) {
        vector<int> dp(n + 1, 0);
        dp[2] = 1;
        for(int i = 3; i <= n; i++){
            for(int j = 1; j < i; j++){
                dp[i] = max(dp[i], max(j * (i - j), j * dp[i - j]));
                //两个以上个数取最大值max()函数用法
            }
        }
        return dp[n];
    }
};
1
2
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6
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8
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总结

动态规划
英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

对于动态规划问题，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

这篇文章主要总结了一些动态规划解决整数拆分的题目，依然是使用动规五部曲，做每道动态规划题目这五步都要弄清楚才能更清楚的理解题目！

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