LeetCode 0891. 子序列宽度之和

【LetMeFly】891.子序列宽度之和

力扣题目链接：https://leetcode.cn/problems/sum-of-subsequence-widths/

一个序列的 宽度 定义为该序列中最大元素和最小元素的差值。

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 的所有非空 子序列 的 宽度之和 。由于答案可能非常大，请返回对 109 + 7 取余 后的结果。

子序列 定义为从一个数组里删除一些（或者不删除）元素，但不改变剩下元素的顺序得到的数组。例如，[3,6,2,7] 就是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的一个子序列。

 

示例 1：

输入：nums = [2,1,3]
输出：6
解释：子序列为 [1], [2], [3], [2,1], [2,3], [1,3], [2,1,3] 。
相应的宽度是 0, 0, 0, 1, 1, 2, 2 。
宽度之和是 6 。

示例 2：

输入：nums = [2]
输出：0

 

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• 1 <= nums[i] <= 105

方法一：排序求贡献

本题只关注序列的最大值和最小值，同时，“序列”是不要求“连续”的

因此答案和数组中元素的顺序无关，我们可以对数组先排个序

排序之后，对于下标为$i$的元素，以$nums[i]$为最大值的子序列个数为$2^i$个（不考虑两个元素相等的情况），因此$nums[i]$对答案的贡献有$2^i\times nums[i]$；以$nums[i]$为最小值的子序列个数为$2^{n-i-1}$个，因此$nums[i]$对答案的贡献有$-2^{n-i-1}\times nums[i]$

1 5 7 9
    ↑
    下标为2
    以nums[2]为最大值的子序列有：[7], [1, 7], [5, 7], [1, 5, 7]共4个
    以nums[2]为最小值的子序列有：[7], [7, 9]共2个
    这里不需要考虑7计算两次的情况，因为单独一个[7]的“宽度”为0
    这里不需要考虑元素相等的情况。假如原数组为1, 7, 7, 9，那么计算结果是不受影响的
1
2
3
4
5
6
7

我们可以预处理求得$2^i$，也可以使用快速幂

• 时间复杂度$O(n\log n)$，其中$n$是数组中原神的个数
• 空间复杂度$O(n)$

AC代码

C++

typedef long long ll;
const ll MOD = 1e9 + 7;
class Solution {
public:
    int sumSubseqWidths(vector<int>& nums) {
        sort(nums.begin(), nums.end());
        ll ans = 0;
        int n = nums.size();
        vector<ll> Pow(n);
        Pow[0] = 1;
        for (int i = 1; i < n; i++)
            Pow[i] = (Pow[i - 1] * 2) % MOD;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            ans = (ans + (Pow[i] - Pow[n - i - 1]) * nums[i]) % MOD;
        }
        return (ans % MOD + MOD) % MOD;
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
14
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